Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 346 / 26 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00
ISBN: 978-5-9963-0268-0
Специальности: Математик
Лекция 13:

Синхронизация и устойчивость дискретных линейных систем

< Лекция 12 || Лекция 13: 12 || Лекция 14 >
Аннотация: Для состояния линейного автомата определяются понятия равновесия и асимптотической устойчивости. Приводится критерий существования у свободного ЛА асимптотически устойчивого состояния. Рассмотрена задача стабилизации ЛА и проблема ее разрешимости. Для дискретных линейных систем над полем R введено понятие e-синхронизирующей последовательности и приводится критерий ее существования.

Понятие устойчивости систем и связанные с ним другие понятия первоначально были введены и исследованы для непрерывных систем [40], [41] и позже были распространены на класс дискретных линейных систем (ДЛС) [64]. Что касается ДЛС, то их задание возможно над различными полями: либо над полем GF(p) , как это сделано в случае линейных автоматов, либо над полем R вещественных чисел, либо над полем Z комплексных чисел. Ниже основное внимание будет сосредоточено на линейных автоматах, заданных над полем GF(p) , и ДЛС, заданных над полем R.

Напомним предварительно некоторые определения из [64], которые понадобятся в дальнейшем. Поскольку понятие устойчивости системы связано только с ее движением в фазовом пространстве состояний, то в описании систем нас будет интересовать только уравнение, определяющее траекторию систем.

Определение 13.1. ЛА \tilde A, заданный над полем GF(p) уравнением

\bar s(t+1)=A\bar s(t)+B\bar u(t)

называется свободным, если \bar u(t)=[0] для любого t.

Определение 13.2. Состояние \bar s свободного ЛА \tilde A называется состоянием равновесия, если для любого t

\bar s=\bar s(t)

Из этих определений следует, что состояние равновесия свободного ЛА должно удовлетворять равенству

\bar s=A\bar s ( 13.1)

Из (13.1) вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 13.1. Нулевое состояние является состоянием равновесия любого свободного ЛА.

Рассматривая (13.1) как СЛАУ относительно неизвестных s_1, \dots s_n, являющихся компонентами вектора \bar s, нахождение состояния равновесия ЛА сводится к решению этой системы.

Понятно, что число состояний равновесия ЛА равно числу решений системы (13.1). Если определитель |A-E| этой системы равен 0, где E - единичная матрица, то ЛА имеет единственное (нулевое) состояние равновесия, в противном случае их существует конечное число, но больше одного.

В качестве примера рассмотрим ЛА над полем GF(2) со следующей главной характеристической матрицей

A=
\left [
\begin {matrix}
0&1&1&1\\
1&0&1&1\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0
\end {matrix}
\right ]

Система (13.1) в координатной форме в данном случае примет вид

s_1+s_2+s_3+s_4 = 0, \\
  s_1+s_2+s_3+s_4 = 0,\\
  s_3+s_4=0,  \\
  s_3+s_4=0 ( 13.2)

Здесь операция "+" понимается как сложение по модулю 2.

Поскольку ранг матрицы A равен 2, то система (13.2) имеет только два линейно независимых уравнения. Выберем в качестве таковых первое и третье уравнения. Считая переменные s_2 и s_4 свободными, выразим через них остальные переменные:

s_1=s_2+s_3+s_4=s_2,\\
     s_3=s_4..

Придавая значения 0 и 1 свободным переменным, получаем искомые состояния равновесия:

[0,0,0,0]', [0,0,1,1]', [1,1,0,0]', [1,1,1,1]'

Определение 13.3. Состояние равновесия \bar s свободного ЛА \tilde A назовем асимптотически устойчивым, если

\forall \bar s \in S_n  \exists k \in N t>k \to \bar s(t)=\bar s

Через N здесь обозначено множество натуральных чисел.

Содержательно последнее определение означает, что после отклонения ЛА от состояния равновесия он возвращается в это состояние после подачи на вход нулевой последовательности некоторой подходящей длины.

В рассмотренном выше примере ЛА ни одно из четырех состояний равновесия не является асимптотически устойчивым. В самом деле, вычисления показывают, что если этот ЛА стартует в состояниях [1,0,0,0]' или ]0,1,0,0]', то при нулевой входной последовательности эти состояния переходят только друг в друга. Аналогичная ситуация имеет место и с состояниями [0,1,1,1]' и [1,0,1,1]', [0,0,0,1]' и [1,1,1,0]', [0,0,1,0]' и [1,1,1,0]', [0,1,0,1]' и [0,1,1,0]', [1,0,0,1]' и [1,0,1,0]'.

Найдем условие, при котором состояние равновесия является асимптотически устойчивым. Из определения 13.3 и формулы (1.3) следует, что для асимптотически устойчивого состояния равновесия \bar s должно существовать такое натуральное число k, что

\bar s=A^k\bar s(0)=A^k \tilde s(0)

где \bar s(0), \tilde s(0) - различные произвольные начальные состояния ЛА.

Вычитая одно равенство из другого, получим

A^k[\bar s(0)-\tilde s(0)]=[0]

В силу произвольности состояний \bar s(0) и \tilde s(0) их разность может быть любым ненулевым вектором \hat s. Поэтому последнее равенство примет вид

A_k \hat s=[0] ( 13.3)

и оно должно выполняться для любого вектора \hat s \in S_n. Из этого факта вытекает, что однородная СЛАУ относительно координат вектора \hat s имеет не единственное решение и таковыми для нее являются любые ненулевые вектора. Последнее обстоятельство позволяет сформулировать два следующих утверждения.

Теорема 13.2. Если свободный ЛА над полем GF(p) имеет асимптотически устойчивое состояние, то оно единственно и совпадает с нулевым.

Теорема 13.3. Для того чтобы свободный ЛА над полем GF(p) имел асимптотически устойчивое состояние равновесия, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое натуральное k, для которого

A^k=[0]

Из сопоставления последней теоремы с теоремой 1.1 вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 13.4. Для того чтобы ЛА над полем GF(p) имел асимптотически устойчивое состояние, необходимо и достаточно, чтобы он был синхронизируемым.

Напомним, что синхронизируемым называется такой ЛА, у которого существует СП.

Таким образом, для свободного ЛА над полем GF(p) наличие асимптотически устойчивого состояния эквивалентно его синхронизируемости.

Попробуем провести параллель между асимптотической устойчивостью для ДЛС над полем R и асимптотической устойчивостью ЛА над полем GF(p) . С этой целью напомним некоторые понятия из [64].

Состояние \bar s свободной ДЛС асимптотически устойчиво, если

\lim_{t \to \infty}[\bar s(t)-\bar s]=[0]

Областью асимптотической устойчивости ДЛ называется множество M всех таких его состояний, что траектории ДЛС, начинающиеся в любом состоянии из M, при достаточно длинной нулевой входной последовательности заканчиваются в состоянии равновесия.

Состояние равновесия ДЛС устойчиво в большом, если существует только одно состояние равновесия и если областью асимптотической устойчивости является все пространство состояний.

ДЛС над полем R по существу можно считать аналогом линейного автомата над полем GF(p) . Используя для свободных ЛА над полем GF(p) аналоги только что приведенных понятий, на основании теоремы 13.3 можно сделать вывод, что для них понятия асимптотической устойчивости и устойчивости в большом просто совпадают. Для ДЛС, как известно [64], это тоже справедливо.

Что касается устойчивости ДЛС над полем R, то она включает устойчивость по начальным условиям и устойчивость к внешним возмущениям.

Аналог этого понятия для ЛА введем следующим образом.

Определение 13.4. ЛА над полем GF(p) назовем устойчивым, если в случае, когда для любого t входной сигнал \bar u(t)=[0],

\exists t_0 \in N\\
t \ge t_0 \to \bar s(t)=[0]

Это определение по существу есть аналог устойчивости ЛА только по начальным условиям. Вторая же составляющая понятия устойчивости, устойчивость к внешним возмущениям, для ЛА над полем GF(p) всегда имеет место, поскольку множества состояний и входов для ЛА являются ограниченными.

Как правило, для выполнения своих функций система должна постоянно находиться в некотором определенном состоянии фазового пространства, из которого она может быть выведена возникающими внешними возмущениями. В этом случае появляется необходимость в возвращении системы в упомянутое состояние всякий раз, когда она из него выводится. Такая задача, называемая задачей стабилизации, обычно решается путем организации в системе подходящей обратной связи.

Напомним математическую постановку задачи стабилизации: для ЛА \tilde A, траектория которого описывается уравнением (1.1) и который находится в начальном состоянии \bar s(0), требуется выбрать обратную связь \bar u(t)=-P\bar s(t) так, чтобы обеспечить устойчивость замкнутой системы

\bar s(t+1)=[A-BP]\bar s(t) ( 13.4)

Для ДЛС, заданной над полем R, известно следующее утверждение [38] если пара матриц A, B является невырожденной, то всегда можно выбрать матрицу P коэффициентов обратной связи \bar u(t)=-P\bar s(t) так, чтобы замкнутая система (13.4) была устойчивой.

Напомним, что пара матриц A, B называется невырожденной, если

rank(A,AB,K,A^{n-1}B)=n

где n - размерность ДЛС.

Покажем, что в отличие от ДЛС над полем R задача стабилизации для ЛА над полем GF(p) в общем случае не всегда разрешима.

Пусть ЛА над полем GF(3) задан следующими характеристическими матрицами:

A=
\left [
\begin {matrix}
0&2&0&0\\
1&0&2&1\\
0&1&1&0\\
2&0&1&1
\end {matrix}
\right ],
B=
\left [
\begin {matrix}
1\\
0\\
0\\
0
\end {matrix}
\right ]

Для этого автомата n = 4, l = 1, следовательно, матрица P из (13.4) имеет вид

P=[p_1, p_2, p_3, p_4]

Выполнив вычисления по правилам поля GF(3) , построим матрицу

[A, AB, A^2B, A^3B]=
\left [
\begin {matrix}
1&0&2&1\\
0&1&2&0\\
0&0&1&0\\
0&2&2&1
\end {matrix}
\right ]

Можно проверить, что определитель этой матрицы равен 1, т. е. отличен от нуля, тогда ее ранг равен 4. Таким образом, рассматриваемая пара матриц является невырожденной.

Легко сообразить, что для свободного ЛА над полем GF(p) понятие устойчивости, введенное в определении 13.4, совпадает с понятием асимптотической устойчивости (см. определение 13.3 и теорему 13.2). Тогда в силу теорем 13.3 и 13.4 нам достаточно установить, что матрица [A-BP] для нашего примера не может быть сделана нильпотентной ни при каком выборе матрицы P, откуда и будет следовать неразрешимость задачи стабилизации.

Поскольку размерность ЛА в рассматриваемом примере равна 4, то для доказательства невозможности обращения в нулевую матрицы [A-BP]^k при любом k достаточно установить, что [A-BP]^4 \ne [0].

Вычисления показывают, что

[A-BP]=
\left [
\begin {matrix}
-p_1& 2-p_2& -p_3&-p_4\\
1&0&2&1\\
0&1&1&0\\
2&0&1&1
\end {matrix}
\right ],[A-BP]^2=
\left [
\begin {matrix}
p_1-p_2-2p_4+2&p_1p_2-2p_1-p_3&p_1p_3-2p_2-p_3-p_4+1&p_1p_2-p_2-p_4+2\\
2-p_1&1-p_2&-p_3&1-p_4\\
1&1&0&1\\
2-2p_1&2-2p_2&2-2p_3&1-2p_4
\end {matrix}
\right ]

Из-за громоздкости мы здесь не приводим всю матрицу [A-BP]^4 (ее можно получить, возведя в квадрат последнюю матрицу), а выпишем лишь элементы ее третьей строки:

p_1 - p_2 - 2p_4,\\
p_1p_2 - 2p_1 - p_3,\\
p_1p_3 - p_3 - 2p_2 - p_4,\\
p_1p_4 - p_2 - p_4 + 1.

Приравняв все эти элементы нулю, получим нелинейную систему уравнений, из которой найдем p_i (i=\overline {1,4}). Выполнив перебор, можно убедиться, что полученная система имеет единственное решение

p_1=0,   p_2=2,   p_3=0,   p_4=2.

Понятно, что матрица [A-BP]^4 будет нулевой лишь в том случае, когда при приведенных значениях p_i в нуль обратятся все остальные элементы матрицы. Можно убедиться путем вычислений, что элемент (4,1) матрицы [A-BP]^4 таков:

(2-p_1)(p_1^2+2-p_2-p_4)+(2-2p_2)(2-p_1)+2-2p_3+(1-2p_4)(2-2p_1)

Подставив в это выражение приведенные выше значения p_i и выполнив вычисления по правилам поля GF(3) , получим значение 2. Отсюда следует, что матрица [A-BP]^4 не может быть сделана нулевой за счет подходящего выбора матрицы P. Таким образом, для рассматриваемого ЛА над полем GF(3) задача стабилизации с помощью обратных связей неразрешима.

Вместе с тем заметим, что если с помощью приведенных выше матриц A, B задать ДЛС над полем R, то вычисления в поле R дают следующую матрицу

[A,AB,A^2B,A^3B]=
\left [
\begin {matrix}
1&0&2&4\\
0&1&2&6\\
0&0&1&3\\
0&2&2&7
\end {matrix}
\right ]

Определитель этой матрицы равен 1, следовательно, ее ранг равен 4.

Таким образом, пара тех же матриц A, B над полем R также является невырожденной, но тогда, как это следует из приведенного выше утверждения из [38], задача стабилизации для соответствующей замкнутой системы над полем R оказывается разрешимой.

Понятие синхронизирующей последовательности, введенное в разделе 1.2 лекции 1 для ЛА над полем GF(p) , может быть распространено и на ДЛС, заданной над полем R.

Введем следующие обозначения. Пусть \hat u(t)=\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar y(t) - входная последовательность длины t+1, \bar {s^i}(0) - начальное состояние ДЛС ( i = 1, 2,\dots ), \bar {s^f}(\bar {s^i}(0), \hat u(t)) - конечное состояние ДЛС после подачи на ее вход последовательности \hat u(t), если она стартует из состояния s^{-i}(0).

Для ДЛС над полем R можно ввести понятие синхронизирующей последовательности, почти дословно повторив ее определение, приведенное в разделе 1.2. Легко доказать, что в этом случае для ДЛС справедлив аналог теоремы 1.1.

< Лекция 12 || Лекция 13: 12 || Лекция 14 >