Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 347 / 26 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00
ISBN: 978-5-9963-0268-0
Специальности: Математик
Лекция 13:

Синхронизация и устойчивость дискретных линейных систем

< Лекция 12 || Лекция 13: 12 || Лекция 14 >

Введем теперь некоторую модификацию понятия СП.

Определение 13.5. Бесконечную последовательность \{\tilde u(t)\}=\bar u(0), \bar u(1),\dots, \bar u(t) назовем \varepsilon -синхронизирующей ( \varepsilon -СП) для ДЛС над полем R с множеством допустимых начальных состояний Init (\tilde A), если

\forall \bar {s^i}(0), \bar {s^2}(0) \in Int(\tilde A) \forall \varepsilon  > 0 \exists t_0 \in N t>t_0 \to |\bar {s^f}(\bar {s^1}(0), \hat u(t))-\bar{s^f}(\bar {s^2}(0), \hat u(t))|< \varepsilon,

где \hat u(t) - начальный отрезок длины t+1 входной последовательности \{\tilde u(t)\}.

Поясним содержательно различие между СП и \varepsilon -СП. После подачи СП (она имеет конечную длину) ДЛС оказывается в одном и том же известном конечном состоянии. В то же время после подачи начального отрезка \varepsilon -СП ДЛС переводится хотя и в различные конечные состояния, но расстояние между ними может быть сделано меньше любого заранее заданного числа \varepsilon за счет подходящего выбора длины упомянутого начального отрезка.

Теорема 13.5. Для того чтобы ДЛС \tilde A, у которой множество допустимых начальных состояний Init (\tilde A) ограничено, имела \varepsilon -СП, достаточно, чтобы все собственные числа \lambda_{\nu} ее характеристической матрицы A лежали внутри единичного круга

|\lambda_{\nu}|<1 ( 13.5)

Доказательство. Проведем его для случая, когда все собственные числа матрицы A различны. Как следует из определения 13.5, существование \varepsilon -СП \{\tilde u(t)\} эквивалентно тому, что

\lim_{t \to \infty}|\bar {s^f}(0), \hat u(t))-\bar {s^f}(\bar {s^2}(0), \hat u(t))|=0

В силу аналога формулы (1.3) для ДЛС этот предел эквивалентен

\lim_{t \to \infty}|A^{t+1}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0))|=0

По условию теоремы |\bar {s^1}(0)|<M и |\bar {s^2}(0)|>M, где M=const, но тогда и для состояния \tilde s(0)=\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0) выполняется неравенство |\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)|>M.

Рассмотрим ДЛС \tilde A*, заданную уравнением переходов

\tilde s(t+1)=A\tilde s(t) ( 13.6)

Очевидно, что существование \varepsilon -СП для ДЛС \tilde A эквивалентно выполнению следующего равенства для ДЛС \tilde A*:

\lim_{t \to \infty}|\tilde s(t+1)|= \lim_{t \to \infty}|A^{t+1}\tilde s(0)|=0

Введем замену \tilde s(t)=Sz(t), где S - невырожденная матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A, причем

S^{-1}AS=diag\{\lambda_{\nu}\}

где diag\{\lambda_{\nu}\} - диагональная матрица. Если |\bar s(t)|<M, то, очевидно, и |\bar z(t)<M_1|, где M_1=conct. Из уравнения (13.6) следует, что

z(t+1)=S^{-1}AS \bar z(t)

или в координатной форме z_{\nu}(t+1)=\lambda_{\nu}z_{\nu}(t).

Учитывая, что

z_{\nu}(t+1)=\lambda_{\nu}^t z_{\nu}(0)\to {z_{\nu}(t+1|=|\lambda_{\nu}^t|{z_{\nu}(0)|

в силу условия (13.5) и того факта, что |z_{\nu}(t)|<M_1, получаем

\lim_{t \to \infty}|z_{\nu}(t+1)|=0

Отсюда вытекает, что

\lim_{t \to \infty}|\bar s(t+1)|= \lim_{t \to \infty}|S\barz(t+1)|=0

а это, как было упомянуто выше, эквивалентно существованию \varepsilon -СП для ДЛС \tilde A.

Заметим, что эта теорема остается справедливой и в случае кратных собственных чисел, но доказательство ее немного усложняется.

Следствие. Если у ДЛС \tilde A над полем R все собственные числа характеристической матрицы A лежат внутри единичного круга, то любая бесконечная входная последовательность \{\tilde u(t)\} является для нее \varepsilon -СП.

Справедливость следствия вытекает из того, что в условиях теоремы 13.5 входная последовательность \{\tilde u(t)\} является произвольной.

Коснемся теперь связи между устойчивостью ДЛС над полем R и свойством \varepsilon -синхронизации. Напомним [38], что свободная ДЛС над полем R называется устойчивой по начальным условиям, если

\lim_{t \to \infty}\bar s(t)=[0]

ДЛС, для которой из условия |\bar u(t)|\le M=const следует ограниченность |\bar s(t)|, называется устойчивой к внешним возмущениям. При наличии обоих указанных свойств ДЛС называется устойчивой.

Понятно, что из устойчивости ДЛС по начальным условиям вытекает справедливость равенства

\lim_{t \to \infty}|\bar s(t)|=0

Последнее означает, что бесконечная нулевая входная последовательность является для ДЛС \varepsilon -СП.

Известно [38], что условие (13.5) есть достаточное условие устойчивости. Таким образом, из теоремы 13.5 следует, что для свободной ДЛС в случае выполнения условия (13.5) понятие \varepsilon -синхронизации и устойчивости равносильны.

Из существования СП следует существование \varepsilon -СП (она состоит из двух подпоследовательностей, первая из которых совпадает с СП, а вторая, бесконечная, может выбираться произвольно), однако обратная импликация места не имеет.

Состояние ДЛС \tilde A, в которое она переходит после подачи на ее входы СП ( \varepsilon -СП), назовем синхросостоянием. Ясно, что в общем случае различные СП ( \varepsilon -СП) могут переводить ДЛС как в различные, так и совпадающие синхросостояния.

В разделе 1.2 лекции 1 была рассмотрена задача о переводе ЛА над полем GF(p) в заданное синхросостояние с помощью СП. Точно такая же задача может быть сформулирована и для ДЛС над полем R, и метод ее решения аналогичен методу, предложенному для случая ЛА.

Сформулируем подобную задачу для ДЛС, когда в качестве "переводящей" последовательности используется \varepsilon -СП.

Пусть заданы ДЛС \tilde A размерности n над полем R, синхросостояние \bar s и величина \varepsilon. Требуется найти входную последовательность конечной длины (начальный отрезок \varepsilon -СП), которая переводит ДЛС в такое состояние \bar s, что |\tilde s-\bar s|<\varepsilon.

Пусть множество Init(\tilde A) допустимых начальных состояний ДЛС \tilde A ограничено и для любого

\tilde s=[s_1*, \dots, s_n*] \in Init(\tilde A)

выполняется неравенство

|\tilde s| \le M ( 13.7)

Очевидно, что если

|s_i*| \le \frac {M}{\sqrt n}, i=1m \dots, n

то неравенство (13.7) заведомо будет выполнено. Теперь найдем такое минимальное число k, чтобы выполнялось неравенство

|A^k \tilde S*| \le \varepsilon

где \tilde s*=\left [ \frac {M}{\sqrt n}, \dots, \frac {M}{\sqrt n}\right ].

Используя аналог формулы (1.3) для ДЛС \tilde A, выпишем следующее равенство:

A^{k-1}B\bar u(0)+A^{k-2}B\bar u(1)+ \dots +AB\bar u(k-2)+B\bar u(k-1)=\bar s-A^k\bar s* ( 13.8)

Его можно рассматривать как СЛАУ относительно координат векторов входной последовательности \bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k-1). Понятно, что решение этой системы будет давать искомую входную последовательность.

Проиллюстрируем изложенное на примере. Пусть ДЛС над полем R с одним входным каналом задана характеристическими матрицами

A=
\left [
\begin {matrix}
0.01&0.05&0.00\\
0.05&0.001&0.02\\
0.00&0.02&0.0001
\end {matrix}
\right ],
B=
\left [
\begin {matrix}
2.0\\
3.0\\
4.0
\end {matrix}
\right ]

Путем вычислений можно убедиться, что собственными значениями матрицы A являются числа \lambda_1=0.01, \lambda_2=0.001, \lambda_3=0.0001. Отсюда на основании теоремы 13.5 можно утверждать, что рассматриваемая ДЛС является синхронизируемой.

Пусть требуется перевести эту ДЛС в синхросостояние \bar s=[0.4,1.2,-0.3]', и пусть точность, с которой это надо осуществить, равна \varepsilon = 0.001. Предположим, что для любого \tilde s \in Init(\tilde A) выполняется неравенство |\tilde s| \le 1.3 Отсюда получаем, что \tilde s*=[0.75,0.75,0.75]'.

Определим теперь минимальную начальную длину отрезка \varepsilon -СП, обеспечивающую перевод рассматриваемой ДЛС в заданное синхросостояние с точностью \varepsilon =0.001. В соответствии с изложенным вычислим

A^2=
\left [
\begin {matrix}
0.0026&0.00055&0.001\\
0.00055&0.002901&0.000022\\
0.001&0.000022&0.0004
\end {matrix}
\right ], 
A^2\tilde s*=
\left [
\begin {matrix}
0.00312\\
0.006312\\
0.001066
\end {matrix}
\right ],
|A^2\bar s*|=0.007141

Поскольку |A^2\tilde s*|>\varepsilon = 0.001, вычислим

A_3=
\left [
\begin {matrix}
0.0054&0.000151&0.000011\\
0.0002&0.000031&0.00\\
0.00011&0.000058&0.00
\end {matrix}
\right ],
A^3\tilde s*=
\left [
\begin {matrix}
0.00016\\
0.000173\\
0.000052
\end {matrix}
\right ],
|A^3\tilde s*|=0.000242

Поскольку |A^3\tilde s*|<\varepsilon = 0.001, заданная точность достигнута. Таким образом, начальный отрезок искомой \varepsilon -СП, обеспечивающий перевод рассматриваемой ДЛС в синхросостояние [0.4,1.2-0.3]' с заданной точностью \varepsilon = 0.001, будет иметь длину k = 3. Исходя из этого, система (13.8) примет вид

A^2B\bar u(0)+AB\bar u(1)+B\bar u(2)=\bar s-A^3\bar s*

В координатной форме эта система такова:

0.01085 u(0)  + 0.17 u(1)  + 2.0 u(2) = 0.399839,\\
0.00989 u(0)  + 0.1834 u(1)  + 3.0 u(2) = 1.119827,\\
0.00366 u(0)  + 0.0604 u(1)  + 4.0 u(2) = -0.299048.

Решая эту систему, получим следующий результат:

u(0) = -507.625899,   u(1) = 36.675231,   u(2) = -0.163412.

Итак, полученная входная последовательность переводит рассматриваемую ДЛС из любого состояния множества Init (\tilde A), состоящего из всевозможных трехмерных векторов, длины которых не превосходят величины M = 1.3, в состояния, отстоящие от заданного синхросостояния \bar s=[0.4,1.2,-0.3]' не более чем на 0.001.

Сделаем замечание, касающееся методов решения системы уравнений вида (13.8). Отметим, что правая часть этой системы является не точной, а приближенной величиной. Это же относится и к элементам различных степеней матриц и произведений матриц, поскольку при их вычислении производятся округления. Поэтому для решения системы (13.8) целесообразно пользоваться приближенными методами. Сейчас известен широкий спектр подобных методов [4], каждый из которых характеризуется различными условиями сходимости, и поэтому для каждой конкретной системы вида (13.8) необходимо подбирать такой, который гарантирует сходимость. Что касается практической реализации, то приближенные методы к тому же, как правило, менее трудоемки, чем точные.

Приведенные выше результаты относились к стационарным ЛА. Что касается нестационарных ЛА, то полные аналоги этих результатов оказываются справедливыми и для них.

Так, определив для НЛА состояние равновесия и асимптотически устойчивое состояние равновесия, как это делалось для стационарных ЛА (определения 13.2 и 13.3 соответственно), легко доказать, что теоремы 13.1 и 13.2 остаются справедливыми и для НЛА. Формулировка теоремы 13.3 для НЛА претерпевает незначительное изменение.

Теорема 13.3. Для того чтобы свободный НЛА \tilde A над полем GF(p) имел асимптотически устойчивое состояние равновесия, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое целое положительное t, что

A(t) A(t-1)\dots A(0) = [0]

Заметим, что для НЛА над полем GF(p) асимптотическая устойчивость и устойчивость в большом просто совпадают, как это было и для стационарных ЛА.

По аналогии с определением 13.5 для стационарных ЛА можно ввести понятие \varepsilon -СП для нестационарного ЛА.

Среди всего множества НЛА рассмотрим далее такой класс НЛА, у которых характеристические матрицы A(t) являются периодическими (с периодом \lambda ), т. е. для них выполняется равенство A(t+\lambda)=A(t), где \lambda - целое положительное число. Построим стационарный ЛА \tilde A_c, согласованный с НЛА \tilde A, задав функцию переходов ЛА \tilde A_c следующим образом:

\tilde s(t+1)=\hat A \tilde s(t)

где \hat A=A(\lambda -1)A(\lambda -2) \dots A(0). Напомним [68], что спектральным радиусом \rho (A) матрицы A называют число \rho (A)=max \{|\lambda |; \lambda - собственные значения матрицы A\}.

Теорема 13.6. Для того чтобы периодический НЛА \tilde A с ограниченным множеством Init(\tilde A) допустимых начальных состояний имел \varepsilon -СП, достаточно, чтобы при любом t выполнялось неравенство

\rho (A) <1 ( 13.9)

Доказательство. Как следует из определения \varepsilon -СП, ее существование равносильно выполнению неравенства

\lim_{t \to \infty}|\bar {s^f}(0), \hat u(ty))-\bar {s^f}(\bar {s^2}(0), \hat u(t))=0| ( 13.10)

Здесь использованы те же обозначения, что и в определении 13.5. Если матрица A(t) периодическая, то по индукции можно показать, что формула (1.7) примет вид

\bar s(t+1)=A(t-\mu [t\ \mu])A(t-\mu [t\ \mu]-1) \dots A(0)\hat A\bar s(0)+A(t-\mu [t\ \mu])\dots\\
\dots A(1) \hat A^{[t\ \mu]}B(0)\bar u(0)+\dots +A(t)B(t-1)\bar u(t-1)+B(t)\bar u(t), ( 13.11)

где [t\ \mu] - целая часть числа t\ \mu.

Из (13.11) следует, что (13.10) эквивалентно соответственно

\lim_{t \to \infty}|A(t-\mu [t\ \mu])\dots A(0)\hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)|=0 ( 13.12)

Согласно лемме 5.6.10 из [68], существует по крайней мере одна матричная форма, для которой справедливы оценки \rho (A) \le \|A\| \le \rho (A)+ \varepsilon при заданном \varepsilon. Отсюда следует, что

\|\hat A\|=\|A(\mu-1)\dota a(0)\| \le \|A(\mu -1)\|\dots \|A(0)\| \le \Pi_{i=1}^{\mu -1}(\rho (A_i)+ \varepsilon_i)

Поскольку по условиям теоремы \rho (A(i))<1 для i=\overline {1, \mu}, при соответствующем выборе величин \varepsilon_i каждый из сомножителей в правой части последнего неравенства, а следовательно, и вся его правая часть, может быть сделана меньше единицы. Из этого следует (см. лемму 5.6.11 из [68]), что

\lim_{t \to \infty}\hat A^k=[0]

т. е. все элементы матрицы \hat A^k стремятся к нулю при k \to \infty.

Условимся говорить, что матрица G не превосходит матрицу H ( G и H имеют одинаковую размерность), и писать G \le H, если каждый элемент матрицы G не превосходит соответствующего элемента матрицы H. Положим

M=max_{1 \le m \le \mu}|q_{ij}^{(m)}|, i,j=\overline {1,n}

где q_{ij}^{(m)} - элементы матрицы A(m-1)A(m-2) \dots A(0) . Тогда при любом t

A(t -\mu [t\ \mu ]) \dots A(0)\hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)) \le D(M) \hat A^{[t\ \mu]}(\bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0)) ( 13.14)

На основании (13.13) и (13.14) и того факта, что длина вектора \bar {s^1}(0)-\bar {s^2}(0) ограничена в силу ограниченности |\bar {s^1}| и |\bar {s^2}| согласно условиям теоремы, вытекает справедливость (13.12).

Следствие. Для периодического НЛА \tilde A, у которого при любом t спектральный радиус матрицы A(t) меньше 1, а множество Init(\tilde A) ограничено, любая бесконечная входная последовательность \{\tilde u(t)\} является \varepsilon -синхронизирующей.

Можно показать, что по аналогии со стационарными ЛА для нестационарных ЛА при выполнении условий теоремы 13.6 понятие \varepsilon -синхронизируемости и асимптотической устойчивости равнозначны.

Заметим, наконец, что решение задачи о переводе НЛА в заданное синхросостояние можно осуществить тем же самым методом, что описан для стационарного ЛА.

Вопросы и упражнения

  1. Дайте определения состояния равновесия и асимптотически устойчивого состояния свободного ЛА.
  2. Какова связь между синхронизируемостью ЛА и асимптотической устойчивостью состояний?
  3. Приведите постановку задачи стабилизации ЛА.
  4. Всегда ли разрешима эта задача для ЛА с парой ее невырожденных характеристических матриц?
  5. Дайте определение \varepsilon -синхронизирующей последовательности для дискретной линейной системы над полем R и поясните ее содержательный смысл.
  6. Сформулируйте достаточное условие существования \varepsilon -синхронизирующей последовательности для дискретной линейной системы над полем R.
  7. Дайте определение синхросостояния дискретной линейной системы.
  8. Опишите метод решения задачи поиска входной последовательности, переводящей ДЛС из любого состояния в \varepsilon -окрестность состояний и выходов ЛА.
< Лекция 12 || Лекция 13: 12 || Лекция 14 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Денис Свитач
Денис Свитач
Россия, Красноярск, Сибирский Государственный Аэрокосмический Университет, 2009