Опубликован: 17.02.2011 | Доступ: свободный | Студентов: 346 / 26 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 25:24:00
ISBN: 978-5-9963-0268-0
Специальности: Математик
Лекция 16:

Обобщенные линейные автоматы без потери информации

< Лекция 15 || Лекция 16: 12 || Лекция 17 >
Аннотация: Вводится класс обобщенных линейных автоматов без потери информации и даются условия принадлежности автомата этому классу. Определяется понятие его оптимального подавтомата, описывается процедура выделения такого подавтомата из ЛА и доказывается его единственность.

Рассмотрим автоматы, у которых входы и выходы являются многоканальными, т. е. их входные и выходные алфавиты структурированы. Каждый из таких автоматов может не быть автоматом БПИ в классическом смысле, но вместе с тем он может допускать возможность восстановления некоторого подмножества компонент входного символа при наблюдении реакций на подмножестве его выходных каналов. Такого рода автоматы были исследованы в работах [48], [49] и названы обобщенными автоматами БПИ (ОБПИ).

В этой лекции будут исследованы обобщенные линейные автоматы БПИ. В частности, в терминах характеристических матриц ЛА будет получен критерий принадлежности автомата упомянутому классу.

Введем некоторые понятия, которые понадобятся далее.

Выходной канал y_i ЛА A назовем избыточным, если в любой момент времени t значение сигнала y_i(t) на нем есть линейная комбинация сигналов на остальных выходных каналах этого же автомата.

Линейный автомат назовем неизбыточным по выходам, если в нем отсутствуют избыточные выходные каналы.

Из сказанного выше следует, что множество \tilde Y=\{y_{j1}, \dots, y_{jk}\} неизбыточных каналов представляет собой такое минимальное по мощности подмножество множества Y=\{y_1, \dots, y_m\} всех выходных каналов ЛА, значений сигналов на которых достаточно для определения значений сигналов на каналах из множества \frac {Y}{\tilde Y}.

Теорема 16.1. Для того чтобы ЛА \tilde A был неизбыточным по выходам, необходимо и достаточно, чтобы число его выходных каналов было равно рангу матрицы [C, D] системы (1.2) уравнений выходов этого автомата.

Доказательство. Предположим, что ранг матрицы системы линейных уравнений (10.2) относительно неизвестных s_1(t), \dots, s_n(t), u_1(t), \dots, u_l(t) равен \nu, где \nu < m. Известно [19], что это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы m- \nu уравнений упомянутой системы представляли собой линейные комбинации остальных уравнений. Применительно к линейному автомату этот факт означает, что m- \nu его выходных каналов являются избыточными. Отсюда и вытекает справедливость теоремы.

Опишем общий метод, позволяющий определить избыточные выходные каналы в ЛА. Этот метод основан на применении известного метода Гаусса [33] для решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть Q - матрица системы (1.2). Методом Гаусса приведем матрицу Q к ступенчатой форме. В процессе такого приведения некоторые строки могут вырождаться в нулевые, что свидетельствует о линейной зависимости соответствующих уравнений системы (10.2) от других уравнений. Очевидно, что выходные каналы ЛА, которым соответствуют нулевые строки в ступенчатой матрице, и являются избыточными.

Проиллюстрируем изложенное на примере ЛА над полем GF(2) с характеристическими матрицами

C=
\left [
\begin {matrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end {matrix}
\right ], 
D=
\left [
\begin {matrix}
0&1&0\\
1&0&0\\
0&0&0\\
1&0&0
\end {matrix}
\right ]

Преобразование методом Гаусса матрицы [C,D] в данном случае осуществляется за два шага, и полученные при этом матрицы имеют вид

\left [
\begin {matrix}
1&0&0&0&1&0\\
0&1&0&!&0&0\\
0&0&1&1&0&0\\
0&0&1&1&0&0
\end {matrix}
\right ]
\begin {matrix}
y_1\\
y_2\\
y_2\oplus y_3\\
y_4
\end {matrix}
\left [
\begin {matrix}
1&0&0&0&1&0\\
0&1&0&1&0&0\\
0&0&1&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0
\end {matrix}
\right ]
\begin {matrix}
y_1\\
y_2\\
y_2 \oplus y_3\\
y_2 \oplus y_3 \oplus y_4
\end {matrix}

Равенство нулю четвертой строки последней матрицы означает, что y_2 \oplus y_3 \oplus y_4=[0]. Последнее равенство равносильно трем следующим: y_2=y_3 \oplus y_4, y_3=y_2 \oplus y_4, y_4=y_2 \oplus y_3. Эти равенства говорят о том, что любой, но только один канал из множества \{y_2, y_3, y_4\} в действительности можно считать избыточным. В самом деле, значение сигнала на одном из упомянутых каналов есть линейная комбинация сигналов на двух других каналах из этой тройки.

Теорема 16.2. Для того чтобы ЛА БПИ являлся неизбыточным по выходам, необходимо и достаточно, чтобы число его выходных каналов m было не меньше числа l его входных каналов.

Доказательство.

Необходимость. Пусть ЛА A есть БПИ и не имеет избыточных выходов. Покажем, что тогда m \ge l. Поскольку ЛА есть автомат БПИ, то по теореме 3.1 \rank D = l. На основании теоремы 16.1 неизбыточность ЛА по выходам равносильна условию \rank [C,D]=m. Из определения ранга матрицы следует, что \rank [C,D] \ge \rank D, т. е. m \ge l.

Достаточность. Пусть ЛА есть автомат БПИ и m \ge l. Докажем, что ЛА будет неизбыточен по выходам. Доказательство проведем от противного. Пусть m<l. Нетрудно показать, что

\rank [C,D] \ge \max [\rank C, \rank D] ( 16.1)

Поскольку ЛА есть БПИ, то \rank D = l. С учетом неравенств m<l и \rank C \le m, получаем

\max [\rank C, \rank D]=l

Таким образом, из (16.1) следует, что \rank [C,D] \ge l. Поскольку l \ne m, то \rank [C,D] \ne m и по теореме 16.1 рассматриваемый ЛА является избыточным по выходам. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Введем теперь понятие обобщенного линейного автомата БПИ (ОБПИ).

Пусть \bar g=(g_1, g_2, \dots, g_h)' - вектор-столбец, представляющий собой входной символ ЛА; i_1, i_2, \dots, i_{\nu} - некоторые натуральные числа, где i_a \ne i_b, если a \ne b и 1 \le I \le h. Назовем проекцией вектора \bar g по входным каналам i_i, \dots, i_{\nu} вектор-столбец (g_{i_1}, \dots, g_{i_{\nu}})' и обозначим ее как pr_{i_1, \dots, i_{\nu}} =bar g. Пусть \hat g=(\bar g(1), \bar g(2), \dots, \bar g(k)) - упорядоченная последовательность вектор-столбцов, которую будем называть входным словом. Тогда проекцией слова \hat g по каналам i_1, \dots, i_{\nu} назовем упорядоченную последовательность вектор-столбцов (pr_{i_1, \dots, i_{\nu}}\bar g(1), \dots, pr_{i_1, \dots, ui_{\nu}} \bar g(k)).

Рассмотрим следующую задачу. На ЛА A, находящийся в известном начальном состоянии \bar s(0), подается неизвестное входное слово \hat a=\bar u(0), \bar u(1), \dots, \bar u(k) и по выходным каналам с номерами j_1<j_2<\dots <j_{\mu}, где 1 \le j_i \le m наблюдается выходная реакция. Требуется распознать проекцию слова \hat a по каналам с номерами i_1, i_2, \dots, i_{\nu}, где 1 \le i_j \le l

Условимся далее через A(I,J) , где I=\{i_1, \dots, i_{\nu}\}, J=\{j_1, \dots, j_{\mu}\}, обозначать такой подавтомат ЛА A, у которого:

  • множество состояний, входной и выходной алфавиты и функция переходов те же, что у ЛА A ;
  • выходной символ подавтомата в момент времени t есть pr_{j_1, \dots, j_{\mu}}\bar y(t), где \bar y(t) - выходной символ ЛА A в тот же момент времени.

Понятно, что решение сформулированной выше задачи сводится к выяснению того, существует ли для заданного ЛА A такой подавтомат A(I,J) , для которого восстановление pr_{i_1, \dots, i_{\nu}}\bar u(t) по наблюдаемой реакции pr_{j_1, \dots, j_{\mu}} \bar y(t) возможно независимо от входного слова \bar u(t) и действительного начального состояния ЛА A.

Далее такой подавтомат A(I,J ) будем называть обобщенным без потери информации (ОБПИ).

Существование у ЛА A подавтомата ОБПИ A(I,J) содержательно означает, что исходный ЛА, не являясь автоматом БПИ в классическом смысле, тем не менее позволяет восстановить фрагменты его неизвестных входных слов по наблюдаемым фрагментам выходных слов и известному начальному состоянию.

Перейдем теперь к описанию процедуры, с помощью которой для заданного ЛА и заданного подмножества его выходных каналов можно установить, существует ли в ЛА такое подмножество I его входных каналов, что подавтомат A(I,J) является ОБПИ.

Условимся далее выходные каналы с номерами из подмножества J называть наблюдаемыми, а каналы с номерами из подмножества \bar J=\{1,2, \dots, m\}\J - ненаблюдаемыми.

Пусть \bar J=\{z_1, \dots, z_k\}, т. е. выходные каналы с номерами z_1,z_2,\dots ,z_k - ненаблюдаемые. Условимся, что строки всех характеристических матриц ЛА пронумерованы числами 1, 2, \dots сверху вниз, а столбцы - числами 1, 2, \dots слева направо. Напомним, что строкам 1, 2, \dots , h матриц A и B и столбцам 1, 2, \dots,h матриц A и C соответствуют компоненты s_1, \dots , s_n вектор-состояния, строкам 1, 2, \dots, m матриц C и столбцам 1, 2, \dots , l матриц B и D - компоненты u_1, \dots , u_l входного вектора \bar u.

Перейдем теперь к описанию упомянутой выше процедуры.

  1. В матрице D вычеркиваются строки, соответствующие ненаблюдаемым выходам y_{z_1}, \dots, y_{z_k}. Оставшуюся часть матрицы размерности (m-k) \times l обозначим через D_j. Находим в ней подматрицу с максимальным рангом, который обозначим через q. Пусть \tilde {u_1}, \dots, \tilde {u)q} - переменные, соответствующие столбцам подматрицы с максимальным рангом q, которые будем называть потенциально восстанавливаемыми. Вычеркнем из D_j столбцы, соответствующие переменным \tilde {u_1}, \dots, \tilde {u_q}, и полученную матрицу обозначим [D_J] . Если [DJ] = [0] , то перейдем к пункту 2, иначе процедура завершается - при удалении выходов y_{z_1}, \dots, y_{z_k} не существует такого подмножества выходов I, что подавтомат A(I,J) является ОБПИ.
  2. В матрице C вычеркиваются строки, соответствующие ненаблюдаемым выходам y_{z_1}, \dots, y_{z_k}. Оставшуюся часть матрицы обозначим через C_j. Пусть \tilde {s_1}, \dots, \tilde {s_h} - переменные, которым соответствуют столбцы в матрице C_j, содержащие нулевые элементы. Очевидно, что \tilde {s_1}, \dots, \tilde {s_h} - компоненты вектор-состояния, которые необходимо знать для вычисления по известной реакции неизвестных компонент \tilde {u_1}, \dots, \tilde {u_q} выходного вектора. Переходим далее к пункту 3 процедуры.
  3. В матрице A выделим строки, соответствующие компонентам \tilde {s_1}, \dots, \tilde {s_h} вектор-состояния, и полученную матрицу обозначим через A_j Вычеркнем из нее столбцы, соответствующие переменным \tilde {s_1}, \dots, \tilde {s_h}, в результате чего получим матрицу [A_J] . Если [A_J] = [0] , то перейдем к пункту 4, иначе процедура завершается - при выходах y_{z_1}, \dots, y_{z_k} не существует такого подмножества выходов I, что подавтомат A(I,J) является ОБПИ.
  4. В матрице B выделим строки, соответствующие компонентам \tilde {s_1}, \dots, \tilde {s_h}, и полученную матрицу обозначим через B_j. Вычеркнем из нее столбцы, соответствующие переменным \tilde {u_1}, \dots, \tilde {u_q}, в результате чего получим матрицу [BJ ]. Если [BJ] = [0] , то подавтомат A(I,J) , где I=\{\tilde {u_1}, \dots, \tilde {u_q}\}, J=\{z_1, \dots, z_k\} является ОБПИ, иначе в ЛА при заданном J не существует подавтомата ОБПИ. На этом процедура свою работу завершает.

Описанная процедура позволяет не только определить, существует ли такое множество I, что подавтомат A(I,J) является ОБПИ, но и установить состав множества I. Построенный подавтомат A(I,J) имеет в качестве входного вектор [\tilde {u_1}, \dots, \tilde {u_q}]', в качестве выходного вектор [y_{j_i}, \dots, y_{j_{\mu}}]', в качестве вектор-состояния [\tilde {s_1}, \dots, \tilde {s_h}]', а его характеристическими матрицами являются матрицы A, B, C, D, из которых удалены все строки и столбцы, за исключением тех, которые соответствуют множествам переменных \{\tilde {u_1}, \dots, \tilde {u_q}\}, \{\tilde {y_1}, \dots, \tilde {j_{\mu}}\}, \{\tilde {s_1}, \dots, \tilde {s_h}\}.

Прокомментируем описанную процедуру. Условие {D_j}=[0] в пункте 1 процедуры означает, что при вычислении реакций подавтомата A(I,J) используются только потенциально восстанавливаемые переменные \tilde {u_1}, \dots, \tilde {u_q} и никакие другие. Условия [A_j]=[0] и [B_j]=[0] в пунктах 3, 4 процедуры означают, что при вычислении компонент \tilde {s_1}, \dots, \tilde {s_h} следующего состояния подавтомата A(I,J) по формуле (1.1) в составляющей A \bar s(t) задействуются только эти же компоненты, а в составляющей B\bar u(t) - только потенциально восстанавливаемые компоненты \tilde {u_1}, \dots, \tilde {u_q} входного вектора.

Учитывая эти комментарии, несложно провести строгое обоснование описанной процедуры.

Из описанной процедуры, с учетом использованных в ней обозначений, вытекает справедливость следующего утверждения.

< Лекция 15 || Лекция 16: 12 || Лекция 17 >
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Денис Свитач
Денис Свитач
Россия, Красноярск, Сибирский Государственный Аэрокосмический Университет, 2009