Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 7:

Нелинейные уравнения и системы

7.3 Решение систем нелинейных уравнений

Напомним, что если заданы m уравнений с n неизвестными и требуется найти последовательность из n чисел, которые одновременно удовлетворяют каждому из m уравнений, то говорят о системе уравнений.

Несложную систему элементарной подстановкой можно привести к нелинейному уравнению. Рассмотрим несколько примеров, в которых описан такой приём решения нелинейной системы.

Пример 7.16. Решить систему уравнений:

\left\{\begin{aligned}{(x^2+2y^2=1\\x-y=1.\end{aligned}

Найдём графическое решение с помощью команд листинга 7.17. На рис. 7.4 видно, что система имеет два решения.

	
% Верхняя часть эллипса
function y=f1(x)
	y=sqrt((1-x.^2)/2);
end;
% Нижняя часть эллипса
function y=f2(x)
	y= -sqrt((1-x.^2)/2);
end;
% Прямая
function y=f3(x)
	y=x-1;
end;
% Построение графика
cla; okno1=figure();
x1 = -1:0.01:1; x2 = -1.5:0.1:1.5;
L1=plot(x1, f1(x1), x1, f2(x1));
set(L1, ’LineWidth’, 2, ’Color’, ’k’)
hold on
L2=plot(x2, f3(x2));
set(L2, ’LineWidth’, 3, ’Color’, ’k’)
set(gca, ’xlim’, [-1.5, 1.5]); set(gca, ’ylim’, [-1, 1]);
set(gca, ’xtick’, [-1.5:0.2:1.5]); set(gca, ’ytick’,[- 1:0.2:1]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel (’y’);
Листинг 7.17. Построение графика системы уравнений (пример 7.16).
Решение системы нелинейных уравнений из примера 7.16

Рис. 7.4. Решение системы нелинейных уравнений из примера 7.16

Не сложно убедиться, что данная система легко сводится к одному уравнению:

\{y=x-1,x^2+2y^2=1\} \Rightarrow x^2+2(x-1)^2-1=0 \Rightarrow 3x^2-4x+1=0
.

Решив это уравнение с помощью функции roots, найдём значения x. Затем подставим их в одно из уравнений системы, например во второе, и тем самым вычислим значения y:

	
>>> p=[3 -4 1];
>>> x=roots(p)
x =
	1.00000
	0.33333
>>> y=x-1
y =
	-1.1102e-16
	-6.6667e-01
Графическое решение примера 7.16

Рис. 7.5. Графическое решение примера 7.16

Понятно, что система имеет два решения x_1=1,y_1=0 и x_2=\frac{1}{3},y_2=-\frac{2}{3} (рис. 7.4). Графическое решение уравнения (листинг 7.18), к которому сводится система, показано на рис. 7.5.

	
function y=f(x)
	y=3-x.^2-4-x+1;
end;
cla; okno1=figure();
x = 0:0.01:1.5;
L=plot(x, f(x)); set(L, ’LineWidth’, 2, ’Color’, ’k’)
set(gca, ’xlim’, [0, 1.5]); set(gca, ’ylim’, [-0.5, 1]);
set(gca, ’xtick’, [0:0.1:1.5]); set(gca, ’ytick’, [-0.5:0.1:1]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’);
Листинг 7.18. График упрощённой системы (пример 7.16).
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009