Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 489 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 9:

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

Аннотация: Дифференциальные уравнения и системы описывают очень многие динамические процессы и возникают при решении различных задач физики, электротехники, химии и других наук. Данная глава посвящена численному решению дифференциальных уравнений и систем средствами Octave.

9.1 Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

H(t,x,x',x'',\dots,x^{(n)})=0. ( 9.1)

Решением дифференциального уравнения называется функция x(t), которая обращает уравнение в тождество.

Системой дифференциальных уравнений n-го порядка называется система вида:


			 \left\{
			 \begin{matrix}
			 {x'}_1=f_1(t,x_1,x_2,\dots,x_n)\\
			 {x'}_2=f_2(t,x_1,x_2,\dots,x_n)\\
			 \hdotsfor{1}\\
			 {x'}_n=f_n(t,x_1,x_2,\dots,x_n)
			 \end{matrix}
			 \right. ( 9.2)

Системой линейных дифференциальных уравнений называется система вида:

\label{gl9:ref2}
			  \left\{
			  \begin{matrix}
			  \displaystyle {x'}_1=\sum _{j=1}^na_{1j}x_j+b_1\\
			  \displaystyle {x'}_2=\sum_{j=1}^na_{2j}x_j+b_2\\
			  \hdotsfor{1}\\
			  \displaystyle {x'}_n=\sum _{j=1}^na_{nj}x_j+b_n
			  \end{matrix}
			  \right. ( 9.3)

Решением системы называется вектор x(t)=
  \begin{pmatrix}
   x_1(t)\\x_2(t)\\\dots\\x_n(t)
  \end{pmatrix}, который обращает уравнения систем (9.2), (9.3) в тождества.

Каждое дифференциальное уравнение, так же, как и система, имеет бесконечное множество решений, которые отличаются друг от друга константами. Для однозначного определения решения необходимо определить дополнительные начальные или граничные условия. Количество таких условий должно совпадать с порядком дифференциального уравнения или системы. В зависимости от вида дополнительных условий в дифференциальных уравнениях различают:

  • задачу Коши, в случае, если все дополнительные условия заданы в одной (чаще начальной) точке интервала;
  • краевую задачу, в случае, когда дополнительные условия заданы на границах интервала.

Различают точные (аналитические) и приближённые (численные) методы решения дифференциальных уравнений. Большое количество уравнений может быть решено точно. Однако есть уравнения, а особенно системы уравнений, для которых нельзя записать точное решение. Но даже для уравнений с известным аналитическим решением очень часто необходимо вычислить числовое значение при определённых исходных данных. Поэтому широкое распространение получили численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Интегральная кривая, проходящая через точку M_0(_t0, x_0)

Рис. 9.1. Интегральная кривая, проходящая через точку M_0(_t0, x_0)
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Владимир Юшанцев
Владимир Юшанцев
Россия