Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 12:

Обработка результатов эксперимента. Интерполяция функций

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345
Аннотация: Данная лекция посвящена решению часто встречающихся на практике задач по обработке реальных количественных экспериментальных данных, полученных в результате всевозможных научных опытов, технических испытаний методом интерполяции. Описаны численные методы интерполирования, а также рассмотрено решение задач интерполирования в Octave.

12.1 Постановка задачи

Напомним читателю задачу интерполирования. На отрезке [a, b] заданы n + 1 точка x_0,x_1,x_2,...,x_n(a=x_0,b=x_n), называемые узлами интерполяции, и значения неизвестной функции f (x) в этих точках

f(x_0)=y_0,f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2,...,f(x_n)=y_n ( 12.1)

Требуется построить интерполирующую функцию F (x), которая в узлах интерполяции принимает те же значения, что и f (x)

F(x_0)=y_0,F(x_1)=y_1,F(x_2)=y_2,...,F(x_n)=y_n ( 12.2)

В общей постановке задача может не иметь однозначного решений или совсем не иметь решений. Задача становится однозначной, если функцию F (x) будем искать в виде полинома F(x)=P_n(x) степени n, удовлетворяющий условиям (12.2).

Полученную интерполяционную формулу y = F (x) зачастую используют для приближённого нахождения значений данной функции f (x) в точках x, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции f (x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x\in[x_0,x_n], и экстраполирование, когда x\notin[x_0,x_n].

Рассмотрим некоторые наиболее часто используемые интерполяционные полиномы.

12.1.1 Канонический полином

Будем искать интерполирующую функцию F (x) в виде канонического полинома степени n.

F(x)=P_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdot\cdot\cdot+a_nx^n ( 12.3)

Выбор многочлена степени n основан на том факте, что через n + 1 точку проходит единственная кривая степени n. Подставив (12.3) в (12.1), получим систему линейных алгебраических уравнений (12.4).

\left\{\begin{aligned}a_0,a_1x_0+a_2x_0^2+\cdots+a_nx_0^n=y_0\\a_0,a_1x_1+a_2x_1^2+\cdots+a_nx_1^n=y_1\\a_0,a_1x_2+a_2x_2^2+\cdots+a_nx_2^n=y_2\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_0,a_1x_n+a_2x_n^2+\cdots+a_nx_n^n=y_n\end{aligned} ( 12.4)

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, найдём коэффициенты интерполяционного полинома a_0,a_1,...,a_n.

< Лекция 11 || Лекция 12: 12345
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009