Нелинейные уравнения и системы

7.2 Решение трансцендентных уравнений

Уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением. К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные, логарифмические, тригонометрические.

Для решения трансцендентных уравнений вида в Octave существует функция или , где — имя функции, вычисляющей левую часть уравнения, — начальное приближение к корню, — интервал изоляции корня.

Если функция вызывается в формате: , то здесь — корень уравнения, — значение функции в точке .

Пример 7.14. Найти решение уравнения:

Начнём решение данного трансцендентного уравнения с определения интервала изоляции корня. Воспользуемся для этого графическим методом. Построим график функции, указанной в левой части уравнения (листинг 7.15), создав предварительно функцию для её определения.

	
% Функция для вычисления левой части уравнения f(x)=0
function y=f1(x)
	y=((2-x-3).^2).^(1/3)-((x-1).^2).^(1/3);
end;
% Построение графика функции f(x)
cla; okno1=figure();
x = -1:0.1:3;
y=f1(x);
pol=plot(x, y);
set(pol, ’LineWidth’, 3, ’Color’, ’k’)
set(gca, ’xlim’, [-1, 3]); set(gca, ’ylim’, [-1,1.5]);
set(gca, ’xtick’, [-1:0.5:3]); set(gca, ’ytick’,[-1:0.5:1.5]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’);
title(’Plot y=(2x-3)^{2/3}-(x-1)^{2/3}’);

На графике (рис. 7.3) видно, что функция дважды пересекает ось . Первый раз на интервале [1, 1.5], второй — [1.5, 2.5].

Уточним корни, полученные графическим методом. Воспользуемся функцией, вычисляющей левую часть заданного уравнения из листинга 7.15 и обратимся к функции , указав в качестве параметров имя созданной функции и число (1.5) близкое к первому корню:

	
>>> x1=fzero(’f1’, 1.5)
x1 = 1.3333

Теперь применим функцию , указав в качестве параметров имя функции, и интервал изоляции второго корня:

	
>>> x2=fzero(’f1’, [1.52.5])
x1= 2

Не трудно заметить, что и в первом и во втором случае функция правильно нашла корни заданного уравнения.

Рис. 7.3. Графическое решение примера 7.14

Ниже приведён пример некорректного обращения к функции , здесь интервал изоляции корня задан неверно. На графике видно, что на концах этого интервала функция знак не меняет, или, другими словами, выбранный интервал содержит сразу два корня.

	
>>>fzero(’f1’, [1 3])
error: fzero: not a valid initial bracketing
error: called from:
error: /usr/share/octave/3.4.0/m/optimization/fzero.m at line 170, column 5

В следующем листинге приведён пример обращения к функции в полном формате:

	
>>> [X(1),Y(1)]= fzero(’f1’, [1 1.5]);
>>> [X(2),Y(2) ]= fzero(’f1’, [1.5 2.5]);
>>> X % Решение уравнения
X = 1.3333 2.0000
>>> Y % Значения функции в точке Х
Y = -2.3870e-15  0.0000e+00

Пример 7.15. Найти решение уравнения .

Как видим, левая часть уравнения представляет собой полином. В примере 7.13 было показано, что данное уравнение имеет четыре корня: два действительных и два мнимых (листинг 7.14).

Листинг 7.16 демонстрирует решение алгебраического уравнения при помощи функции . Не трудно заметить, что результатом работы функции являются только действительные корни. Графическое решение (рис. 7.2) подтверждает это: функция дважды пересекает ось абсцисс.

	
function y=f2(x)
	y=x.^4+4-x.^3+4-x.^2-9;
end;
>>> [X(1),Y(1)]= fzero(’f2’, [-4 -2]);
>>> [X(2),Y(2)]= fzero(’f2’, [0 2]);
>>> X
>>> Y
X = -3 1
Y = 0 0