Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 489 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 6:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Пример 6.21. Найти направляющие коэффициенты прямой 2x - 2y - z + 8 = 0 и x + 2y - 2z + 1 = 0 (листинг 6.24).

	
N1=[2, -2, -1];N2= [ 1, 2, -2 ];
% Расчёт координат векторного произведения		
M=[N1; N2 ];
M1=M( 1 : 2, 2 : 3 );M2=[M( :, 1 ),M( :, 3 ) ]; M3=M( 1 : 2, 1 : 2 );
a ( 1 )=det (M1); a ( 2 )= _det (M2); a ( 3 ) =( det (M3) );
a
% Векторное произведение
a = 6  3  6
Листинг 6.22. Расчёт направляющих коэффициентов прямой (пример 6.21).
Геометрическая интерпретация примера 6.20, случай a)

Рис. 6.17. Геометрическая интерпретация примера 6.20, случай a)
Геометрическая интерпретация примера 6.20, случай b)

Рис. 6.18. Геометрическая интерпретация примера 6.20, случай b)

Прямая L, проходящая через точку M_0(x_0,y_0,z_0) и имеющая направляющий вектор \vec{a}\{l,m,n\} представляется уравнениями \frac{x-x_{0}}{l}=\frac{y-y_{0}}{m}=\frac{z-z_{0}}{n}. Эти уравнения выражают коллинеарность векторов \overrightarrow{{M_{0}M_{1}}}\{x-x_{0,}y-y_{0,}z-z_{0}\},\vec{a}\{l,m,n\} и называются каноническими уравнениями прямой.

Уравнения x = x_0 + lt, y = y_0 + mt, z = z_0 + nt называют параметрическими уравнениями прямой. Здесь величина t является параметром и принимает различные значения.

Пример 6.22. Записать параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки A(5, -3, 2) и B(3, 1, -2).

Если в качестве направляющего вектора выбрать вектор \overrightarrow{AB}=\{3-5,1-(-3),-2-2\}=\{-2,4,-4\}, то каноническое уравнение будет иметь вид \frac{x-5}{-2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-2}{-4}, следовательно параметрическое уравнение запишем так x = 5 + 2t, y = -3 + 4t, z = 2 - 4t.

Команды, которые применялись для графического решения примера (рис. 6.19) показаны в листинге 6.23.

	
clf; cla;
set( gcf, ’Position’, [ 20, 20, 400, 400 ] );
set( gca, ’Position’, [ . 1, . 1, . 8, . 8 ] );
xlabel( ’x’ ); ylabel ( ’y’ ); zlabel ( ’z’ );
axis( [ 3, 5, - 3, 2, -2, 3 ] );
grid on;
% Исходные данные
A= [ 5, - 3, 2 ];B= [ 3, 1, - 2 ];
t = 0 : 0.1 : 1;
x=5-2* t; y= -3+4* t; z=2-4* t;
% Изображение прямой
line( x, y, z, ’LineWidth’, 5, ’Color’, ’k’ );
% Изображение точек
line( [A( 1 ),A( 1 ) ], [ A( 2 ),A( 2 ) ], [ A( 3 ),A( 3 ) ], ’LineWidth’, 5, ’Color’
	, ’k’, ’marker’, ’o’, ’markersize’, 1 0 );
line ( [ B( 1 ),B( 1 ) ], [ B( 2 ),B( 2 ) ], [ B( 3 ),B( 3 ) ], ’LineWidth’, 5, ’Color’
	, ’k’, ’marker’, ’o’, ’markersize’, 1 0 );		
% Подписи
text(A( 1 ),A( 2 ) +0.3,A( 3 ) +0.5, ’A’, ’FontSize’, 20 );
text(B( 1 ),B( 2 ) +0.3,B( 3 ) +0.3, ’B’, ’FontSize’, 20 );
set( gca, ’View’, [ 120 50 ] );
Листинг 6.23. Построение прямой по параметрическим уравнениям (пример 6.22).
Прямая, проходящая через две точки

Рис. 6.19. Прямая, проходящая через две точки

Если известны направляющие векторы двух прямых \vec{a}\{l,m,n\} и \vec{b}\{l',m',n'\}, то угол между этими прямыми можно вычислить по формуле

\cos (\phi )=\pm {\frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}\sqrt{l'^{2}+m'^{2}+'^{2}}}}.
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009