Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 489 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 6:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Пример 6.4. Проверить коллинеарны ли векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD},\overrightarrow{NM} и \overrightarrow{KL}, \overrightarrow{PR} и \overrightarrow{UV}. Координаты точек: A(4, 2), B(2, 3), C(3, 2), D(7, 0), M(2, 1), N(6, 1), K(1, 2), L(7, 2), P(3, 3), R(5, 3), U(1, 4), V(5, 4).

Текст файла-сценария представлен в листинге 6.4. При решении примера была создана функция kollin(a, b), которая определяет коллинеарны ли векторы \vec{a}=\{x_{1}, y_{1}\} и \vec{b}=\{x_{2}, y_{2}\}. Результатом работы функции является коэффициент пропорциональности векторов. Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны: \pm\lambda =\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}. Знак коэффициента пропорциональности говорит о направлении векторов: "+" — в одну сторону, "_" — в разные. Для изображения векторов использовалась функция vector(A, B), описанная в листинге 6.2 к примеру 6.2.

Изображение векторов примера 6.3

Рис. 6.3. Изображение векторов примера 6.3

Решение примера показано в конце листинга 6.4 и на рис. 6.4. По полученным числовым результатам и геометрической интерпретации примера можно сделать вывод, что векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} коллинеарны, но направлены в разные стороны. Векторы \overrightarrow{NM} и \overrightarrow{KL} не являются коллинеарными. Векторы \overrightarrow{PR} и \overrightarrow{UV} — коллинеарны и имеют одно направление.

	
function[lam]= kollin(a, b)
	if (a(2)==0) & (b(2)==0)
		lam=a(1)/b(1);
	elseif (a(1)==0) & (b(1)==0)
		lam=a(2)/b(2);
	elseif a(1)/b(1)==a(2)/b(2)
		lam=a(1)/b(1);
	else
		lam=Inf;
	end;
end;
clf; cla;
set(gcf, ’Position’, [20, 20, 400, 400]);
set(gcf, ’numbertitle’, ’off’)
set(gcf, ’name’, ’Vector’)
set(gca, ’Position’, [.1, .1, .8, .8]);
set(gca, ’xlim’, [0, 10]);
set(gca, ’ylim’, [0, 10]);
set(gca, ’xtick’, [0 : 10]);
set(gca, ’ytick’, [0 : 10]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’);
A= [3, 3];B= [1, 4];C= [2, 2];D= [6, 0];M= [2, 6];N= [6, 6];
K= [1, 7]; L= [7, 8];P= [7, 3];R= [9, 3];U= [5, 4];V= [9, 4];
AB_CD=kollin(B-A, D-C)
MN_KL=kollin(N-M, L-K)
PR_UV=kollin(R-P, V-U)
vector(A,B);% Построение вектора AB
A_=text(A(1),A(2)+0.3, ’A’); set(A_, ’FontSize’, 20)
B_=text(B(1),B(2)+0.3, ’B’); set(B_, ’FontSize’, 20)
vector(C,D); % Построение вектора CD
C_=text(C(1),C(2)+0.3, ’C’); set(C_, ’FontSize’, 20)
D_=text(D(1),D(2)+0.3, ’D’); set(D_, ’FontSize’, 20)
vector(N,M); % Построение вектора NM
N_=text(N(1),N(2)+0.3, ’N’); set(N_, ’FontSize’, 20)
M_=text(M(1),M(2)+0.3, ’M’); set(M_, ’FontSize’, 20)
vector(K, L); % Построение вектора KL
K_=text(K(1)+0.3,K(2)-0.3, ’K’); set(K_, ’FontSize’, 20)
L_=text(L(1)+0.3,L(2)-0.3, ’L’); set(L_, ’FontSize’, 20)
vector(P,R); % Построение вектора PR
P_=text(P(1)+0.3,P(2)-0.3, ’P’); set(P_, ’FontSize’, 20)
R_=text(R(1)+0.3,R(2)-0.3, ’R’); set(R_, ’FontSize’, 20)
vector(U,V); % Построение вектора UV
U_=text(U(1)+0.3,U(2)-0.3, ’U’); set(U_, ’FontSize’, 20)
V_=text(V(1)+0.3,V(2)-0.3, ’V’); set(V_, ’FontSize’, 20)
% Результаты — коэффициенты пропорциональности векторов
AB_CD = -0.50000
MN_KL = Inf
PR_UV = 0.50000
Листинг 6.4. Проверка коллинеарности векторов (пример 6.4).

Геометрической проекций вектора \overrightarrow{AB} на ось OX называется вектор \overrightarrow{A^{'}B^{'}}, начало которого A^{'} есть проекция точки A на ось OX, а конец B^{'} — проекция точки B на ту же ось. Обозначается: \overrightarrow{A^{'}B^{'}}=\text{Пр}_{OX}\overrightarrow{AB}. Алгебраической проекций вектора \overrightarrow{AB} на ось OX называется длина вектора \overrightarrow{A^{'}B^{'}}, взятая со знаком "+", если направление вектора \overrightarrow{AB} совпадает с направлением оси OX, или со знаком "-" в противном случае.

Геометрическая интерпретация примера 6.4

Рис. 6.4. Геометрическая интерпретация примера 6.4

Пример 6.5. Найти проекции векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{PR} на ось OX. Координаты точек, задающих векторы: A(1, 2), B(3, 5), P (9, 2), R(6, 2).

Текст файла-сценария и значения алгебраических проекций векторов представлены в листинге 6.5. При решении примера была создана функция pr\_OX(X), которая вычисляет длину проекции вектора на ось OX. Аргументом функции является массив абсцисс X(x_1, x_2) заданного вектора. Для изображения векторов и их проекций использовалась функция vector(A, B), описанная в примере 6.2. Геометрические проекции показаны на рис. 6.5.

	
function pr=pr_OX(X) % Длина проекции вектора на ось ОХ
	pr=X(2)-X(1);
end;
clf; cla;
set(gcf, ’Position’, [20, 20, 400, 400]);
set(gcf, ’numbertitle’, ’off’)
set(gcf, ’name’, ’Vector’)
set(gca, ’Position’, [.1, .1, .8, .8]);
set(gca, ’xlim’, [0, 10]);
set(gca, ’ylim’, [0, 10]);
set(gca, ’xtick’, [0 : 10]);
set(gca, ’ytick’, [0 : 10]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’);
A= [1, 2];B= [3, 5];P= [9, 2];R= [6, 2];
% Длины проекций
prAB=pr_OX([A(1),B(1)])
prPR=pr_OX([P(1),R(1)])		
vector(A,B);% Построение вектора AB
A_=text(A(1)+0.3,A(2)-0.3, ’A’); set(A_, ’FontSize’, 20)
B_=text(B(1)+0.3,B(2)-0.3, ’B’); set(B_, ’FontSize’, 20)
% Построение проекции вектора АВ на ось ОХ
mAB=vector([A(1), 0], [B(1), 0]);
text(mAB(1),mAB(2)+0.5, ’prAB’, ’FontSize’, 18);
vector(P,R); % Построение вектора PR
P_=text(P(1)+0.3,P(2)-0.3, ’P’); set(P_, ’FontSize’, 20)
R_=text(R(1)+0.3,R(2)-0.3, ’R’); set(R_, ’FontSize’, 20)
% Построение проекции вектора PR на ось ОХ
mPR=vector([P(1), 0], [R(1), 0]);
text(mPR(1),mPR(2)+0.3, ’prPR’, ’FontSize’, 18);
% Вычисление проекций
prAB = 2
prPR = -3
Листинг 6.5. Нахождение проекций векторов (пример 6.5).
Проекции векторов на ось OX

Рис. 6.5. Проекции векторов на ось OX

Любые векторы можно привести к общему началу, то есть построить векторы равные данным и имеющие общее начало в некоторой точке О.

Над векторами производят различные действия: сложение, вычитание, умножение.

При сложении\ (вычитании ) векторов их координаты складываются (вычитаются): \vec{a}\pm\vec{b}=\{(a_{1}\pm b_{1}),(a_{2}\pm b_{2})\}.

При умножении\ (делении ) вектора на число все координаты умножаются (делятся) на это число: \lambda \vec{a}=\{\lambda a_{1,}\lambda a_{2}\}$,  $\frac{\vec{a}}{\lambda}=\{\frac{a_{1}}{\lambda },\frac{a_{2}}{\lambda }\}.

Геометрическое представление суммы векторов

Рис. 6.6. Геометрическое представление суммы векторов
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009