Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 488 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 6:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Пример 6.17. Построить плоскости x + y - 1 = 0, x - z + 1 = 0, y + z + 2 = 0, x - y + 2 = 0, 2x + 3 = 0, 3y - 2 = 0.

Ход решения примера описан в листинге 6.18. Графическое решение показано на рис. 6.16.

	
function p=plos1 (A, B, C,D)
	M=[A, B,C ]; % Параметры плоскости
	d = [ 0.1, 0.1, 0.1 ];
	if A==0 M( 1 ) =1; end;
	if B==0 M( 2 ) =1; end;
	if C==0 M( 3 ) =1; end;
	if A<0 d ( 1 ) = -0.1; end;
	if B<0 d ( 2 ) = -0.1; end;
	if C<0 d ( 3 ) = -0.1; end;
	X=0:d ( 1 ) :M( 1 );
	Y=0:d ( 2 ) :M( 2 );
	Z=0:d ( 3 ) :M( 3 );
	% Построение плоскости
	if C!=0 % Плоскость не параллельна OZ
	% Уравнение плоскости преобразовано к функции двух переменных z(x,y)
		[ x, y]= meshgrid(X,Y);
		b0= - D/C; b1= - A/C; b2= - B/C;
		z=b0+b1 _ x+b2 _ y; f1=surf ( x, y, z ); colormap gray
	else
		if B!=0 % Плоскость не параллельна OY
	% Уравнение плоскости преобразовано к функции двух переменных y(x,z)
				[ x, z ]= meshgrid(X, Z);
				b0= - D/B; b1= - A/B; b2= - C/B;
				y=b0+b1 * x+b2 * z; f1=surf ( x, y, z ); colormap gray
			else % Плоскость не параллельна OX
	% Уравнение плоскости преобразовано к функции двух переменных x(y,z)
				[ y, z ]= meshgrid(Y, Z);
				b0= - D/A; b1= - B/A; b2= - C/A;
				x=b0+b1 * y+b2 * z; f1=surf( x, y, z ); colormap gray
			end;
	end;
	grid on;
	xlabel ( ’x’ ); ylabel ( ’y’ ); zlabel ( ’z’ );
	set( gca, ’xtick’, [ 0 :M( 1 ) ] ); set( gca, ’ytick’, [ 0 :M( 2 ) ] );
	set( gca, ’ztick’, [ 0 :M( 3 ) ] ); set( gca, ’box’, ’on’ );
	p=f1;
	end; % конец функции
% Изображение плоскостей заданных в примере 6.17
clf; cla; subplot ( 3, 2, 1 );
A1=1;B1=1;C1=0;D1=-1; % Плоскость x+y-1=0
plos1 (A1, B1, C1, D1);
title ( ’x+y-1=0, (C=0)’ );
subplot ( 3, 2, 2 );
A2=1;B2=0;C2=_1;D2=1; % Плоскость x-z+1=0
plos1 (A2, B2, C2, D2);
title ( ’x-z+1=0, (B=0)’ );
subplot ( 3, 2, 3 );
A3=0;B3=1;C3=1;D3=2; % Плоскость y+z+2=0
plos1 (A3, B3, C3, D3);
title ( ’y+z+2=0, (A=0)’ );
set ( gca, ’View’, [ 1 3 0 3 0 ] );
subplot ( 3, 2, 4 );
A4=1;B4=-1;C4=1;D4=0; % Плоскость x-y+z-2=0
plos1 (A4, B4, C4, D4);
set ( gca, ’View’, [ 4 0 3 0 ] );
title ( ’x-y+z=0,D=0’ );
subplot ( 3, 2, 5 );
A5=2;B5=0;C5=0;D5=3; % Плоскость 2x+3=0
plos1 (A5, B5, C5, D5);
set ( gca, ’View’, [ 4 0 3 0 ] );
title ( ’2x+3=0, (B=0,C=0)’ )
subplot ( 3, 2, 6 );
A6=0;B6=3;C6=0;D6=_2; % Плоскость 3y-2=0
plos1 (A6, B6, C6, D6);
set ( gca, ’View’, [ 4 0 3 0 ] );
title ( ’3y-2=0,(A=0,C=0)’ );
Листинг 6.18. Построение нескольких плоскостей (пример 6.17).

Расстояние от точки M_1(x_1, y_1, z-1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины

d=\frac{|Ax_1+By_2+Cz_3+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.

Пример 6.18. Найти расстояние от точки M1 (3, 9, 1) до плоскости x - 2y + 2z + 3 = 0.

Решение показано в листинге 6.19.

	
% Исходные данные
A=1;B=-2;C=2;D=-3;M= [ 3, 9, 1 ];N=[A;B;C ];
% Расстояние от точки М(3,9,1) до плоскости x-2y+2z-3=0
d=abs (M *N+D) /norm(N)
d = 5.3333
Листинг 6.19. Вычисление расстояния от точки до плоскости.
Особые случаи положения плоскости относительно системы координат

Рис. 6.16. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат

Две плоскости A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 образуют четыре двугранных угла равных попарно. Один из них всегда равен углу между нормальными векторами \vec{N}_{1}\{A_{1,}B_{1,}C_{1}\}. Вычисляют любой из двугранных углов по формуле

\cos (\phi )=\pm{\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}},

причём, выбирая "+" получаем \cos (\angle \vec{N}_{1}\vec{N}_{2}), выбирая "–" получаем \cos (180-\angle \vec{N}_{1}\vec{N}_{2}).

Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Владимир Юшанцев
Владимир Юшанцев
Россия
Андрей Скурихин
Андрей Скурихин
Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет (ЛЭТИ), 1997