Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 489 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 6:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Пример 6.10. Проверить, являются ли векторы \overrightarrow{NM} и \overrightarrow{KL}, \overrightarrow{PR} и \overrightarrow{UV} взаимно перпендикулярными. Координаты точек: M(2, 1), N(6, 1), K(1, 2), L(7, 2), P (3, 3), R(5, 3), U(1, 4), V(5, 4).

Если \vec{a}=\{a_{1,}a_{2}\} и \vec{b}=\{b_{1,}b_{2}\}, то их скалярное произведение равно нулю: \overrightarrow{ab}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=0. На рис. 6.8 видно, что векторы \overrightarrow{NM} и \overrightarrow{KL} перпендикулярны, а \overrightarrow{PR} и \overrightarrow{UV} нет. Аналитические вычисления подтверждают это (листинг 6.10).

	
% Вычисление скалярного произведения векторов a и b
function[ab]= scal(a, b)
ab=a(1)*b(1)+a(2)*b(2);
end;
clf; cla;
set(gcf, ’Position’, [20, 20, 400, 400]);
set(gcf, ’numbertitle’, ’off’)
set(gcf, ’name’, ’Vector’)
set(gca, ’Position’, [.1, .1, .8, .8]);	
set(gca, ’xlim’, [0, 10]);
set(gca, ’ylim’, [0, 10]);
set(gca, ’xtick’, [0 : 10]);
set(gca, ’ytick’, [0 : 10]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’);
M= [2, 6];N= [6, 6];K= [4, 4]; L = [4, 8];
P= [7, 3];R= [9, 3];U= [5, 4];V= [9, 4];
MN_KL=scal(N-M, L-K)
PR_UV=scal(R-P, V-U)
vector(N,M); % Построение вектора NM
N_=text(N(1),N(2)+0.3, ’N’); set(N_, ’FontSize’, 20)
M_=text(M(1),M(2)+0.3, ’M’); set(M_, ’FontSize’, 20)
vector(K,L); % Построение вектора KL
K_=text(K(1)+0.3,K(2)-0.3, ’K’); set(K_, ’FontSize’, 20)
L_=text(L(1)+0.3,L(2)-0.3, ’L’); set(L_, ’FontSize’, 20)
% Построение вектора PR
vector(P,R); % Построение вектора PR
P_=text(P(1)+0.3,P(2)-0.3, ’P’); set(P_, ’FontSize’, 20)
R_=text(R(1)+0.3,R(2)-0.3, ’R’); set(R_, ’FontSize’, 20)
vector(U,V);% Построение вектора UV
U_=text(U(1)+0.3,U(2)-0.3, ’U’); set(U_, ’FontSize’, 20)
V_=text(V(1)+0.3,V(2)-0.3, ’V’); set(V_, ’FontSize’, 20)
% Результат работы программы
MN_KL = 0
PR_UV = 8
Листинг 6.10. Проверка перпендикулярности векторов (пример 6.10).
Графическое решение примера 6.10

Рис. 6.8. Графическое решение примера 6.10

Векторным произведением вектора \vec{a} на не коллинеарный с ним вектор \vec{b} называется вектор \vec{c}, модуль которого численно равен площади параллелограмма построенного на векторах \vec{a} и \vec{b}: \vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\sin (\widehat {{a,b}}). Направление вектора \vec{c} перпендикулярно плоскости параллелограмма. Если векторы \vec{a}=\{x_{1,}y_{1,}z_{1}\} и \vec{b}=\{x_{1,}y_{2,}z_{2}\}, то \vec{a}\times\vec{b}=\left\{\left|\begin{smallmatrix}y_{1}&z_{1}\\y_{2}&z_{2}\end{smallmatrix}\right|,\left|\begin{smallmatrix}z_{1}&x_{1}\\z_{2}&x_{2}\end{smallmatrix}\right|,\left|\begin{smallmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{smallmatrix}\right|\right\}.

Геометрическая интерпретация векторного произведения

Рис. 6.9. Геометрическая интерпретация векторного произведения

Пример 6.11. Найти векторное произведение векторов \vec{a}=\{1,4\} и \vec{b}=\{5,3\}. Вычислить угол между векторами.

Графическое решение показано на рис. 6.9. Листинг 6.11 содержит текст программы и результаты её работы.

	
clear all; clf; cla;
set(gcf, ’Position’, [20, 20, 400, 400]);
set(gcf, ’numbertitle’, ’off’)
set(gcf, ’name’, ’Vector’)
set(gca, ’Position’, [.1, .1, .8, .8]);
set(gca, ’xlim’, [0, 10]); set(gca, ’ylim’, [0, 10]);
set(gca, ’zlim’, [0, 10]);
set(gca, ’xtick’, [0 : 10]); set(gca, ’ytick’, [0 : 10]);
set(gca, ’ztick’, [0 : 10]);
set(gca, ’View’, [30 30], ’box’, ’on’);
xlabel(’x’); ylabel(’y’); zlabel(’z’);
axis([0, 10, 0, 10, 0, 10]);
grid on;
function D=dlin(x) % Длина вектора
	D=(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2)^(1/2);
end;
function gr=rad_gr(rad) % Перевод радиан в градусы и минуты
	gr(1)= round(rad*180/pi); % Градусы
	gr(2)= round((rad*180/pi_gr(1))*60); % Минуты
end;
% Исходные данные
x1 =4; y1 =2; z1 =0; x2 =1; y2 =3; z2 =0; a=[x1, y1, z1]; b=[x2, y2, z2];
% Расчёт координат векторного произведения
M=[a; b]; M1=M(1:2, 2:3);M2=[M(:, 1),M(:, 3)]; M3=M(1:2, 1:2);
c(1)=det(M1); c(2)=-det(M2); c(3)=(det(M3));
% Расчёт угла между векторами a и b
da=dlin(a); db=dlin(b); dc=dlin(c);
alf=asin(dc/(da*db));
% Изображение векторов a,b,c
line([0, a(1)], [0, a(2)], [0, a(3)], ’LineWidth’, 5, ’Color’, ’k’);
line([0, b(1)], [0, b(2)], [0, b(3)], ’LineWidth’, 5, ’Color’, ’k’);
line([0, c(1)], [0, c(2)], [0, c(3)], ’LineWidth’, 5, ’Color’, ’k’);
% Изображение стрелок на векторах
line([c(1), c(1)], [c(2), c(2)], [c(3), c(3)], ’LineWidth’, 5, ’Color’
	, ’k’, ’marker’, ’^’, ’markersize’, 16);
line([b(1), b(1)], [b(2), b(2)], [b(3), b(3)], ’LineWidth’, 5, ’Color’
	, ’k’, ’marker’, ’<’, ’markersize’, 10);
line([a(1), a(1)], [a(2), a(2)], [a(3), a(3)], ’LineWidth’, 5, ’Color’
	, ’k’, ’marker’, ’<’, ’markersize’, 10);
% Расчёт координат вершины параллелограмма
k1=y1/x1; k2=y2/x2; d(1) =(y1-y2+k1*x2-k2*x1)/(k1-k2);
d(2)=k1*d(1)+y2-k1*x2; d(3) =0;
% Стороны параллелограмма
line([a(1),d(1)],[a(2),d(2)],[a(3),d(3)], ’LineWidth’, 2, ’Color’, ’k’);
line([b(1),d(1)],[b(2),d(2)],[b(3),d(3)], ’LineWidth’, 2, ’Color’, ’k’);
c % Координаты векторного произведения
alfa=rad_gr(alf) % Угол между векторами a и b
% Результаты работы программы — координаты векторного произведения
c = 0 -0 10
% Угол между векторами
alfa = 45 -0
Листинг 6.11. Векторное произведение векторов (пример 6.11).

Три вектора называют компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости. Смешанным или векторно-скалярным произведением трёх векторов \vec{a},\vec{b} и \vec{c} называется скалярное произведение вектора \vec{a} на векторное произведение \vec{b}\times\vec{c}, то есть число \overrightarrow{abc}=\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{b}\times \vec{c})\cdot \vec{a}. Если векторы \vec{a}=\{x_{1,}y_{1,}z_{1}\}, \vec{b}=\{x_{1,}y_{2,}z_{2}\} и \vec{\text{с}}=\{x_{3,}y_{3,}z_{3}\} даны своими координатами, то смешанное произведение вычисляют по формуле:

\overrightarrow{abc}=
										\displaystyle\left\arrowvert{
										\begin{array}{ccc}
										x_{1}&y_{1}&z_{1}\\
										x_{2}&y_{2}&z_{2}\\
										x_{3}&y_{3}&z_{3}
										\end{array}
										}\right\arrowvert.

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов \vec{a}, \vec{b} и \vec{c} является равенство нулю их смешанного произведения \overrightarrow{abc}=0.

Пример 6.12. Проверить компланарность векторов (листинг 6.12):

\begin{aligned}
									\text{а) }& \vec{a}=\{-2,-1,-3\}, &\vec{b}=\{-1,4,6\} &\text{ и } \vec{c}=\{1,5,9\};\\
									\text{б) }&   \vec{a}=\{1,2,3\},  &\vec{b}=\{-1,3,4\} &\text{ и } \vec{c}=\{2,5,2\}. 
									\end{aligned}
	
function d=komp(A, B,C)
	M=[A;B;C ];
	d=det (M);
	if d==0
		disp(’Векторы компланарны’);
	else
		disp(’Векторы не компланарны’);
	end;
end;
a =[-2, -1, -3];b = [-1, 4, 6]; c = [1, 5, 9]; d1=komp(a, b, c)
a = [ 1, 2, 3 ]; b = [ -1, 3, 4 ]; c = [ 2, 5, 2 ]; d2=komp( a, b, c )
% Результат работы программы
Векторы компланарны
d1 = 0
Векторы не компланарны
d2 = -27
Листинг 6.12. Поверка компланарности векторов (пример 6.12).
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009