Диаграммы
Неполные и неразрешимые теории
Предыдущий раздел мог создать впечатление, что наугад взятая теория скорее всего окажется полной, разрешимой, а возможно, и конечно аксиоматизируемой. Это совсем не так.
Откуда вообще берутся в математике аксиоматические теории? Иногда мы пытаемся построить аксиоматически теорию какой-то конкретной структуры (скажем, теорию действительных чисел со сложением и умножением). В других случаях мы стараемся выделить общие свойства различных структур. Например, аксиомы группы фиксируют общие свойства различных групп, и с самого начала ясно, что такая теория не должна и не может быть полной. То же самое можно сказать и про теорию линейно упорядоченных множеств — полнота такой теории означала бы, что все линейно упорядоченные множества (или группы) элементарно эквивалентны, то есть обладают одними и теми же свойствами, выражаемыми формулами. Это, конечно, не так.
Что касается конкретных структур, то и для них естественные
теории не всегда оказываются полными. Классический пример —
натуральные числа со сложением и умножением. Для них имеется
естественная формальная теория (называемая формальной
арифметикой). Ее аксиомы включают в себя обычные свойства
сложения и умножения, а также аксиомы индукции. Опыт показывает,
что любое рассуждение теории чисел, в котором речь идет только о
конечных объектах, может быть формально записано в виде вывода
из аксиом этой теории. Более того, многие доказательства,
использующие бесконечные объекты (скажем, важнейшую в теории
чисел -функцию Римана), могут быть модифицированы
и погружены в эту формальную теорию. Тем не менее эта теория
неполна (и не может быть полна, как мы увидим в этом разделе).
Среди естественных неполных теорий бывают разрешимые и неразрешимые. Например, теория линейно упорядоченных множеств разрешима, теория абелевых групп разрешима, а теория групп неразрешима. Подробный рассказ об этом далеко выходит за рамки нашей книжки; написанный М.О.Рабином обзор соответствующих результатов можно найти в справочнике по математической логике (часть III, Теория рекурсии [26], глава 4).
Мы же ограничимся тремя примерами (теория равенства, теория полугрупп, формальная арифметика).
Теория равенства
Рассмотрим сигнатуру, содержащую единственный двуместный предикат равенства, и теорию, состоящую из трех аксиом равенства (рефлексивность, симметричность и транзитивность). Эти аксиомы рассматривались в разделе "Аксиомы равенства"; заметим, что у нас нет других предикатных и функциональных символов (и связанных с ними аксиом равенства).
Моделями этой теории являются всевозможные множества с отношениями эквивалентности. Нормальными моделями этой теории являются множества различной мощности; поскольку никакой дополнительной структуры нет, такая модель определяется мощностью (с точностью до изоморфизма). Теоремами этой теории будут формулы с равенством, истинные в множествах любой мощности.
Теорема 68.Множество теорем теории равенства является разрешимым.
Заметим, что истинность формулы в нормальной модели может
зависеть от ее мощности. Например, формула ложна в одноэлементной модели и истинна во всех
остальных. Поэтому процедура элиминации кванторов в чистом виде
здесь неприменима.
Но идея остается той же. От чего зависит истинность формулы этой сигнатуры (с параметрами)? Во-первых, от значений параметров (важно, какие параметры равны друг другу, а какие нет). Во-вторых, от числа элементов модели. (Если бы этой зависимости не было, то можно было бы написать бескванторную формулу, эквивалентную данной во всех моделях теории.)
Например, формула при
истинна во всех
моделях, начиная с двухэлементной, а при
истинна во
всех моделях, начиная с трехэлементной. Можно ожидать, что
модели с большим числом элементов неотличимы друг от друга и от
бесконечных моделей.
Лемма. Истинность формулы языка с равенством, содержащей параметров и имеющей кванторную глубину
,
определяется тем, какие из параметров равны друг другу, а также мощностью
носителя, при этом все мощности, большие
, одинаковы.
Доказательство леммы проводится индукцией по построению формулы.
Для атомарной (и вообще для любой бескванторной) формулы
мощность вообще не играет роли. Если утверждение леммы верно для
формул и
, то оно очевидным образом
верно и для
,
,
и
. При этом используется такой факт:
кванторная глубина (число вложенных кванторов) и число
параметров у части формулы не больше, чем у всей формулы.
Содержательный случай — когда формула начинается с квантора. Когда, скажем, формула
![\exists x \varphi(x,x_1,\dots,x_k)](/sites/default/files/tex_cache/b3ea1426db0c6a0ca2b873188143b8d7.png)
![x_1,\dots,x_k](/sites/default/files/tex_cache/98ba3b143f705a17c9d6f60a987d2a6b.png)
![x](/sites/default/files/tex_cache/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![x_1,\dots,x_k](/sites/default/files/tex_cache/98ba3b143f705a17c9d6f60a987d2a6b.png)
![\varphi(x,x_1,\dots,x_k)](/sites/default/files/tex_cache/6e27654d5cd345e1aec0aec1a3d1ea4e.png)
![x=x_i](/sites/default/files/tex_cache/110a38a973ecc3a6d5d642e75c3a6671.png)
![1](/sites/default/files/tex_cache/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png)
![1](/sites/default/files/tex_cache/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png)
![x_i](/sites/default/files/tex_cache/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.png)
![x_1,\dots,x_k](/sites/default/files/tex_cache/98ba3b143f705a17c9d6f60a987d2a6b.png)
![x_i\hm=x_j](/sites/default/files/tex_cache/8a5e605d6bb622180ce4867d95cb2e2a.png)
![k+1](/sites/default/files/tex_cache/a31a860e7a59c7616c1515ec3ae652a6.png)
![\varphi(x,x_1,\dots,x_k)](/sites/default/files/tex_cache/6e27654d5cd345e1aec0aec1a3d1ea4e.png)
![x\hm\notin\{x_1,\dots,x_k\}](/sites/default/files/tex_cache/ba2b32dfde407c8695d0278a38d6a17c.png)
![x_i\hm=x_j](/sites/default/files/tex_cache/8a5e605d6bb622180ce4867d95cb2e2a.png)
Квантор всеобщности рассматривается точно так же (а можно его выразить через квантор существования и вообще не рассматривать). Лемма доказана.
Доказательство леммы конструктивно, то есть указывает способ узнать, будет ли формула истинной, если известно, какие ее параметры равны и какова мощность носителя. В частности, для замкнутых формул получаем способ проверять их истинность для всех значений мощности, то есть выводимость в теории равенства.
140. Рассмотрим теорию, в сигнатуре которой есть равенство и конечное число одноместных предикатных символов, а аксиомами являются аксиомы равенства (включая устойчивость предикатов относительно равенства, как в разделе "Аксиомы равенства"). Покажите, что эта теория разрешима.
Эта задача показывает, что добавление одноместных предикатов в сигнатуру не делает теорию равенства неразрешимой. Отметим, что расширение сигнатуры (без изменения множества аксиом) может превратить разрешимую теорию в неразрешимую: например, добавив конечное число одноместных функциональных символов к теории равенства, получим неразрешимую теорию (как видно из доказательства теоремы Черча с помощью проблемы тождества для полугрупп, см. [5]). Добавление одного двуместного предикатного символа также дает неразрешимую теорию.