Ультрафильтры и компактность

Ультрафильтры и компактность

В этом разделе мы дадим прямое доказательство теоремы о компактности (теорема 50).

Пусть — непустое множество, а — непустое семейство подмножеств множества . Семейство называется фильтром на , если выполнены следующие три свойства (для наглядности множества из мы называем далее большими):

• (пустое множество не является большим);
• (пересечение двух больших множеств — снова большое множество); отсюда следует, что пересечение конечного числа больших множеств — большое множество и что любые два больших множества пересекаются;
• (любое надмножество большого множества является большим); отсюда следует, что все множество является большим.

Дополнения к большим множествам естественно назвать малыми. (Отметим, что множество может не быть ни большим, ни малым; это отличает фильтры от ультрафильтров, которые мы вскоре определим.)

Тривиальным примером фильтра является семейство, состоящее из единственного множества . Другой пример — семейство всех подмножеств , содержащих некоторый выделенный элемент . Такой фильтр называется главным. Третий пример: пусть бесконечно, тогда фильтром будет множество всех коконечных подмножеств , то есть подмножеств, дополнение которых конечно. (Другими словами, малыми будут конечные множества.) Последний пример — из анализа: фильтром на является семейство всех окрестностей некоторой фиксированной точки , то есть всех множеств, для которых является внутренней точкой.

156. Переформулируйте определение фильтра в терминах малых множеств.

Заметим, что одно и то же множество не может быть одновременно и большим, и малым, поскольку любые два больших множества пересекаются (по большому, и потому непустому, множеству). Но, как мы уже говорили, множество может не быть ни большим, ни малым. Если таких "промежуточных" множеств нет, фильтр называют ультрафильтром.

Иными словами, ультрафильтром называется фильтр на с таким свойством: или для любого множества .

Очевидно, любой главный фильтр является ультрафильтром. Фильтры остальных наших примеров не были ультрафильтрами.

157. Докажите, что на конечном множестве любой ультрафильтр является главным.

158. Докажите, что любой неглавный ультрафильтр содержит все коконечные множества.

159. Докажите, что если ультрафильтр не является главным, то вместе с каждым множеством он содержит и все множества , для которых симметрическая разность конечна.

Определение ультрафильтра можно переформулировать следующим образом: ультрафильтры — это фильтры, не имеющие собственных расширений (максимальные по включению). Докажем это. Если фильтр не максимален, то найдется больший фильтр . Тогда множество и его дополнение до не принадлежит (иначе и , и его дополнение принадлежали бы фильтру ). Следовательно, не является ультрафильтром.

Обратно, пусть фильтр не является ультрафильтром, и ни множество , ни его дополнение не принадлежат . Добавим к все множества вида (для всех ) и все их надмножества. Получится фильтр. В самом деле, пустое множество ему не принадлежит, так как иначе бы не пересекалось с некоторым множеством из и содержало бы некоторое множество из потому лежало бы в . Остальные свойства фильтра очевидны; новый фильтр (в отличие от исходного) содержит и потому расширяет .