Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 698 / 30 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 1:

Логика высказываний

Аннотация: Рассматриваются основные понятия алгебры логики (аксиомы, формулы, эквивалентность, вывод, разбор формул, полнота связок и другие)

Высказывания и операции

"Если число \pi рационально, то \pi — алгебраическое число. Но оно не алгебраическое. Значит, \pi не рационально." Мы не обязаны знать, что такое число \pi, какие числа называют рациональными и какие алгебраическими, чтобы признать, что это рассуждение правильно — в том смысле, что из двух сформулированных посылок действительно вытекает заключение. Такого рода ситуации — когда некоторое утверждение верно независимо от смысла входящих в него высказываний — составляют предмет логики высказываний.

Такое начало (особенно если учесть, что курс логики входил в программу философского факультета, где также изучалась "диалектическая логика") настораживает, но на самом деле наши рассмотрения будут иметь вполне точный математический характер, хотя мы начнем с неформальных мотивировок.

Высказывания могут быть истинными и ложными. Например, " 2^{16}+1простое число "— истинное высказывание, а " 2^{32}+1простое число"— ложное (это число делится на 641 ). Про высказывание " существует бесконечно много простых p, для которых p+2 — также простое "никто не берется сказать наверняка, истинно оно или ложно. Заметим, что " x делится на 2 " в этом смысле не является высказыванием, пока не сказано, чему равно x ; при разных x получаются разные высказывания, одни истинные (при четном x ), другие— ложные (при нечетном x ).

Высказывания можно соединять друг с другом с помощью " логических связок". Эти связки имеют довольно странные, но традиционные названия и обозначения (табл. 1.1). Отметим также, что в импликации A\Rightarrow B высказывание A называют посылкой, или антецедентом импликации, а B — заключением, или консеквентом.

Таблица 1.1. Логические связки, обозначения и названия.
связка обозначение название
A и B

A & B

A\land B

A and B

конъюнкция
A или B

A\lor B

A or B

дизъюнкция

не A

A неверно

\lnot A \sim\!A \overline{A}

not A

отрицание

из A следует B

если A, то B

A влечет B

B — следствие A

A\rightarrow B

A\Rightarrow B

A\supset B

A then B

импликация

следование

Говорят также, что высказывание имеет истинностное значение И (истина), если оно истинно, или Л (ложь), если оно ложно. Иногда вместо И употребляется буква T (true) или число 1, а вместо Л — буква F (false) или число 0. (С первого взгляда идея произвольным образом выбрать числа 0 и 1 кажется дикой — какая бы польза могла быть от, скажем, сложения истинностных значений? Удивительным образом в последние годы обнаружилось, что такая польза есть, и если оперировать с истиной и ложью как элементами конечного поля, можно получить много неожиданных результатов. Но это выходит за рамки нашей книги.)

Логические связки позволяют составлять сложные высказывания из простых. При этом истинность составного высказывания определяется истинностью его частей в соответствии с таблицей 1.2.

Таблица 1.2. Таблицы истинности для логических связок.
A B A\land B A\lor B A \to B
Л Л Л Л И
Л И Л И И
И Л Л И Л
И И И И И
A \lnot A
Л И
И Л

Те же правила можно изложить словесно. Высказывание A\land B истинно, если оба высказывания A и B истинны. Высказывание A\lor B истинно, если хотя бы одно из высказываний A и B истинно. Высказывание A\to B ложно в единственном случае: если A истинно, а B ложно. Наконец, \lnot A истинно в том и только том случае, когда A ложно.

Из всех связок больше всего вопросов вызывает импликация. В самом деле, не очень понятно, почему надо считать, скажем, высказывания "если 2\times 2=5, то 2\times
2=4 "и "если 2\times 2=5, то 3\times 3=1 " истинными. (Именно так говорят наши таблицы: Л \toИ\hm= Л\to Л\hm=И.) Следующий пример показывает, что в таком определении есть смысл.

Общепризнано, что если число x делится на 4, то оно делится на 2. Это означает, что высказывание

\text{(x делится на 4)}\ \to \ \text{(x делится на 2)}
истинно при всех x. Подставим сюда x=5: обе части ложны, а утверждение в целом истинно. При x=6 посылка импликации ложна, а заключение истинно, и вся импликация истинна. Наконец, при x=8 посылка и заключение истинны и импликация в целом истинна. С другой стороны, обратное утверждение (если x делится на 2, то x делится на 4 ) неверно, и число 2 является контрпримером. При этом посылка импликации истинна, заключение ложно, и сама импликация ложна. Таким образом, если считать, что истинность импликации определяется истинностью ее частей (а не наличием между ними каких-то причинно-следственных связей), то все строки таблицы истинности обоснованы. Чтобы подчеркнуть такое узко-формальное понимание импликации, философски настроенные логики называют ее "материальной импликацией".

Теперь от неформальных разговоров перейдем к определениям. Элементарные высказывания (из которых составляются более сложные) мы будем обозначать маленькими латинскими буквами и называть пропозициональными переменными. Из них строятся пропозициональные формулы по таким правилам:

  • Всякая пропозициональная переменная есть формула.
  • Если A — пропозициональная формула, то \lnot A — пропозициональная формула.
  • Если A и B — пропозициональные формулы, то (A\land B), (A\lor B) и (A\to B) — пропозициональные формулы.

Можно еще сказать так: формулы образуют минимальное множество, обладающее указанными свойствами (слово "минимальное" здесь существенно: ведь если бы мы объявили любую последовательность переменных, скобок и связок формулой, то эти три свойства были бы тоже выполнены).

Пусть формула \varphi содержит n пропозициональных переменных p_1,p_2,\dots,p_n. Если подставить вместо этих переменных истинностные значения ( И или Л ), то по таблицам можно вычислить истинностное значение формулы в целом. Таким образом, формула задает некоторую функцию от n аргументов, каждый из которых может принимать значения Л и И. Значения функции также лежат в множестве \{Л, И\}, которое мы будем обозначать \mathbb{B}. Мы будем следовать уже упоминавшейся традиции и отождествлять И с единицей, а Л — с нулем, тем самым \mathbb{B} есть \{0,1\}. Формула \varphi задает отображение типа \mathbb B^n\to\mathbb B. Такие отображения называют также булевыми функциями n аргументов.

Юрий Тарасов
Юрий Тарасов
Россия, Мегион, средняя школа №1, 1993
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига