Языки первого порядка

Помимо логических связок, в математических рассуждениях часто встречаются кванторы "для любого" ( ) и "существует" ( ). Например, определение непрерывности начинается словами "для любого положительного найдется положительное , для которого, ...". А одна из аксиом теории групп (существование обратного элемента) записывается так: .

Можно сформулировать различные логические законы, включающие в себя кванторы. Например, высказывание "существует такое , что " (где — некоторое свойство объекта ) логически эквивалентно высказыванию "не для всех верно ".

Мы будем записывать такого рода законы с помощью формул, дадим определение истинности формул (при данной интерпретации входящих в них символов) и исследуем, какого рода свойства можно выражать с помощью формул и какие нельзя.

Формулы и интерпретации

Начнем с примера. Пусть — некоторое непустое множество, а — бинарное отношение на нем, то есть подмножество декартова произведения . Вместо мы будем писать . Рассмотрим формулу

Эта формула выражает некоторое свойство бинарного отношения (для любого элемента найдется элемент, находящийся с ним в отношении ) и может быть истинна или ложна. Например, если есть множество натуральных чисел , а — отношение "строго меньше" (другими словами, есть множество всех пар , для которых ), то эта формула истинна. А для отношения "строго больше" (на том же множестве) эта формула ложна.

Вопрос о том, будет ли истинна формула

для данного множества и для данного бинарного отношения на нем, не имеет смысла, пока не уточнено, каково значение переменной . Например, если и есть , то эта формула будет истинной при и ложной при . Для данных и она задает некоторое свойство элемента и тем самым определяет некоторое подмножество множества .

Перейдем к формальным определениям. Пусть — непустое множество. Множество состоит из всех последовательностей длины , составленных из элементов множества . Назовем -местной функцией на множестве любое отображение в (определенное на всем ). Синонимы: "функция аргументов", "функция валентности ", "функция местности " и даже "функция арности " (последнее слово происходит от слов "унарная" для функций одного аргумента, "бинарная" (операция) для функций двух аргументов и "тернарная" для трех аргументов).

Назовем -местным предикатом на множестве любое отображение в множество . Такой предикат будет истинным на некоторых наборах множества и ложным на остальных наборах. Поставив ему в соответствие множество тех наборов, где он истинен, мы получаем взаимно однозначное соответствие между -местными предикатами на и подмножествами множества . Говоря о предикатах, также употребляют термины "валентность", "число аргументов" и др.

Мы будем рассматривать также функции и предикаты валентности нуль. Множество одноэлементно (содержит единственную последовательность длины ). Поэтому функции отождествляются с элементами множества , а нульместных предикатов ровно два — истинный и ложный.

Естественно, что в формулы будут входить не сами функции и предикаты, а обозначения для них, которые называют функциональными и предикатными символами. В качестве символов можно использовать любые знаки. Важно лишь, что каждому символу приписана валентность, которая определяет, со сколькими аргументами он может встречаться в формуле. Произвольный набор предикатных и функциональных символов, для каждого из которых указано неотрицательное число, называемое валентностью, мы будем называть сигнатурой.

Остается определить три вещи: что такое формула данной сигнатуры, что такое интерпретация данной сигнатуры и когда формула является истинной (в данной интерпретации).

Фиксируем некоторый набор символов, называемых индивидными переменными. Они предназначены для обозначения элементов множества, на котором определены функции и предикаты; обычно в таком качестве используют латинские буквы с индексами. В каждой формуле будет использоваться конечное число переменных, так что счетного набора переменных нам хватит. Мы предполагаем, что переменные отличны от всех функциональных и предикатных символов сигнатуры (иначе выйдет путаница).