Языки первого порядка
Определим понятие терма данной сигнатуры. Термом называется последовательность переменных, запятых, скобок и символов сигнатуры, которую можно построить по следующим правилам:
- Индивидная переменная есть терм.
- Функциональный символ валентности
есть терм.
- Если
— термы, а
— функциональный символ валентности
, то
есть терм.
В принципе можно было не выделять функциональные символы
валентности (которые также называют константами)
в отдельную группу, но тогда бы после них
пришлось писать скобки (как это делается в программах на языке Си).
Если — предикатный символ валентности
, а
— термы, то выражение
считается атомарной формулой. Кроме того, любой
предикатный символ валентности
считается атомарной формулой.
Формулы строятся по таким правилам:
- Атомарная формула есть формула.
- Если
— формула, то
— формула.
- Если
и
— формулы, то выражения
,
,
также являются формулами.
- Если
есть формула, а
— индивидная переменная, то выражения
и
являются формулами.
Во многих случаях в сигнатуру входит двуместный предикатный
символ , называемый равенством.
По традиции вместо
пишут
.
Итак, понятие формулы в данной сигнатуре полностью определено. Иногда такие формулы называют формулами первого порядка данной сигнатуры, или формулами языка первого порядка с данной сигнатурой.
Наш следующий шаг — определение интерпретации
данной сигнатуры. Пусть фиксирована некоторая сигнатура . Чтобы
задать интерпретацию сигнатуры
, необходимо:
- указать некоторое непустое множество
, называемое носителем интерпретации;
- для каждого предикатного символа сигнатуры
указать предикат с соответствующим числом аргументов, определенный на множестве
(как мы уже говорили,
-местным предикатным символам ставится в соответствие либо И, либо Л );
- для каждого функционального символа сигнатуры
указать функцию соответствующего числа аргументов с аргументами и значениями из
(в частности, для
-местных функциональных символов надо указать элемент множества
, с ними сопоставляемый).
Если сигнатура включает в себя символ равенства, то среди ее
интерпретаций выделяют нормальные
интерпретации, в которых символ равенства интерпретируется как совпадение
элементов множества .
Приведем несколько примеров сигнатур, используемых в различных теориях.
Сигнатура теории упорядоченных множеств включает
в себя два двуместных предикатных символа (равенство и
порядок) и не имеет функциональных символов. Здесь также
вместо по традиции пишут
.
Аксиомы порядка (рефлексивность, антисимметричность, транзитивность) могут быть записаны формулами этой сигнатуры. Например, требование антисимметричности записывается так:
![\forall x\,\forall y (((x\le y)\land (y\le x))\to(x=y)).](/sites/default/files/tex_cache/52070cf61fe4a2ca9e65148f7f53eb7a.png)
Иногда в сигнатуру теории упорядоченных множеств вместо символа включают символ
; большой разницы тут нет.
39. Как записать с помощью формулы свойство линейной упорядоченности? свойство не иметь наибольшего элемента? свойство плотности (отсутствия соседних элементов)? свойство фундированности (отсутствия бесконечных убывающих последовательностей — или, что эквивалентно, наличия минимального элемента в любом подмножестве)? свойство полной упорядоченности? (Указание: не для всех перечисленных свойств это возможно.)
Сигнатуру теории групп можно выбирать по-разному. Можно
считать, что (помимо равенства) она имеет двуместный
функциональный символ (который по традиции записывают
между множителями), константу (нульместный функциональный
символ)
и одноместный функциональный символ
для обращения. Тогда аксиомы теории групп записываются с
использованием лишь кванторов всеобщности:
![\begin{align*}
&\forall x\,\forall y\,\forall z
(((x\times y)\times z)=(x\times(y\times z))),\\
&\forall x\, (((x\times 1)= x)\land((1\times x)=x)),\\
&\forall x\, (((x\times inv(x))= 1)\land((inv(x)\times x)=1)).
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/ae1c522159ffa3f3cbf3f59749ea5c0a.png)
Если не включать операцию обращения в сигнатуру, придется использовать квантор существования и переписать последнюю аксиому так:
![\forall x\, \exists y\,((( x\times y)= 1)\land((y\times x)=1)).](/sites/default/files/tex_cache/9d988bf3d4cfe84ff25da4e838573e7c.png)
40. Как записать аксиомы теории групп, если в сигнатуре нет
константы ?
(Указание: аксиома о существовании обратного станет частью аксиомы
о существовании единицы.)
41. Как записать в виде формулы требование коммутативности
группы? утверждение о том, что любой элемент (кроме единицы)
имеет порядок ? конечность группы? (Указание: не все из
перечисленного можно записать, хотя пока у нас нет средств это
установить.)
Сигнатура теории множеств содержит два двуместных предикатных символа: для принадлежности и для равенства. Аксиомы теории множеств можно записывать в виде формул этой сигнатуры. Чаще всего рассматривают вариант аксиоматической теории множеств, называемый теорией Цермело-Френкеля и обозначаемый ZF. Приведем для примера одну из аксиом теории ZF, называемую аксиомой объемности, или экстенсиональности:
![\begin\forall x\,\forall y\,((\forall z\,((z\in x)\to(z\in y))\land
\forall z\,((z\in y)\to(z\in x))) \to\\
{}\to(x=y)).
\end](/sites/default/files/tex_cache/cd6e7b8a61bb7c0e014bc5864f6056bb.png)
42. Сформулировать словесно эту аксиому.
43. Записать в виде формулы аксиому регулярности, или фундирования,
которая говорит, что у всякого множества есть минимальный (с точки зрения
отношения ) элемент, то есть элемент, не пересекающийся с самим
множеством.
44. Какова естественная сигнатура для теории полей? Можно ли
записать в виде формулы этой сигнатуры утверждение о том, что
поле имеет характеристику ? конечную характеристику?
алгебраически замкнуто?