Ультрафильтры и компактность

Теорема 86. Множество компактно тогда и только тогда, когда любой элемент множества бесконечно близок к некоторому (стандартному) элементу множества .

В самом деле, ограниченность означает, что любой элемент множества конечен, то есть бесконечно близок к стандартному числу, а замкнутость позволяет заключить, что это число принадлежит .

186. Используя полученные только что критерии, покажите, что любой отрезок действительной прямой компактен, а любой интервал открыт.

187. Покажите, используя нестандартный критерий открытости, что объединение любого числа открытых множеств открыто. (Напоминание: гипердействительный аналог объединения может не совпадать с объединением гипердействительных аналогов!)

188. Покажите, что пересечение двух (или любого конечного числа) открытых множеств открыто. (Где используется конечность?)

189. Докажите, что последовательность фундаментальна тогда и только тогда, когда любые два ее бесконечных члена бесконечно близки (предварительно уточнив формулировку этого утверждения).

190. Докажите, что всякая фундаментальная последовательность сходится, используя приведенный критерий фундаментальности. (Указание. Ограниченность приходится доказывать, исходя из стандартных определений.)

191. Докажите, что если последовательность ограничена и имеет единственную предельную точку, то она сходится (к этой точке).

192. Докажите, что ограниченная возрастающая последовательность имеет предел.

Перейдем к функциям действительного переменного и дадим нестандартное определение предела (аналогичное приведенному выше для последовательностей).

Теорема 87. Число есть предел функции в точке тогда и только тогда, когда для всех , бесконечно близких к , но отличных от .

Пусть функция имеет предел согласно - -определению и для всякого найдется с нужными свойствами. Бесконечно близкое к число попадает в -окрестность точки при любом стандартном , поэтому попадает в -окрестность точки .

Напротив, если при некотором для любого найдется точка , для которой , но , то можно применить принцип переноса (для данного стандартного ) и взять бесконечно малое .

Непосредственным следствием является нестандартный критерий непрерывности: функция непрерывна в (стандартной) точке тогда и только тогда, когда для всех , бесконечно близких к .

Для функции, определенной на некотором множестве , критерий непрерывности в точке выглядит так: для всякой точки , бесконечно близкой к .

193. Проверьте это.

Поучительно понять, чем это свойство отличается от равномерной непрерывности.

Теорема 88. Функция равномерно непрерывна на множестве тогда и только тогда, когда для всех выполнено .

Пусть выполнено обычное - - определение непрерывности. Бесконечно близкие точки отличаются менее чем на (стандартное) , а потому их образы отличаются менее чем на . Это верно для любого стандартного , поэтому .

Обратно, если функция не является равномерно непрерывной, то для некоторого и для любого найдутся точки, отстоящие менее чем на , образы которых отстоят более чем на . Остается применить при данном принцип переноса и взять бесконечно малое .

Чем это отличается от непрерывности во всех точках множества ? Непрерывность во всех точках означает, что для любого стандартного и любого бесконечно близкого к нему мы имеем . Отсюда следует, что для любых , бесконечно близких к некоторому стандартному , выполнено . Но в множестве могут быть бесконечно близкие элементы, стандартная часть которых не лежит в (или вообще не имеющие стандартной части, то есть бесконечные). Легко понять, что для компактного такого быть не может (стандартная часть любого элемента принадлежит согласно теореме 86). Тем самым мы получили (почти что тривиальное) нестандартное доказательство классической теоремы: непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна.

Вот еще несколько "нестандартных" доказательств стандартных (во всех смыслах этого слова) теорем из курса математического анализа.

Теорема 89. Непрерывная на отрезке функция, принимающая значения разных знаков на концах отрезка, имеет нуль на этом отрезке.

Разделим отрезок на равных частей. Среди них найдется часть, на которой функция меняет знак. По принципу переноса и при делении отрезка на бесконечное гипернатуральное число частей найдется часть, на которой функция меняет знак. Но концы этой части бесконечно близки к некоторой стандартной точке отрезка. Эта точка будет нулем функции (если в ней функция, скажем, положительна, то по непрерывности в бесконечно близких к ней концах отрезка изменения знака функция будет положительной).

Теорема 90. Непрерывная во всех точках компакта функция ограничена на нем.

Пусть функция непрерывна на компакте . Следуя нестандартному критерию ограниченности, мы должны показать, что значения функции во всех точках конечны. Но всякая точка бесконечно близка к некоторой стандартной точке (компактность), а потому (непрерывность), поэтому конечно.

Обратите внимание, что мы пользовались аксиомой полноты (для множества ) только один раз, при доказательстве теоремы 78. Это и не удивительно, поскольку из утверждения этой теоремы следует аксиома полноты.

194. Убедитесь в этом, следуя такой схеме. Пусть — произвольное ограниченное множество действительных чисел. Покажите (стандартными рассуждениями), что для любого найдется число , являющееся верхней гранью, для которого не будет верхней гранью. Примените принцип переноса, взяв бесконечно малое и рассмотрев стандартную часть соответствующего числа .

195. Докажите, что производная стандартной функции в стандартной точке равна стандартному числу тогда и только тогда, когда для всех бесконечно малых .

196. Покажите, что согласно нестандартному определению производной (предыдущая задача).

197. Как использовать нестандартный анализ для определения понятия интеграла?

В наших примерах все рассмотрения были ограничены множеством гипердействительных чисел. Это ограничение кажется существенным — не вполне ясно, каким образом можно применить те же методы к произвольному топологическому пространству (в котором нет бесконечно больших чисел). Тем не менее это возможно, и об этом можно прочесть в книгах Дэвиса [11] или Успенского [27].