Ультрафильтры и компактность
Теорема 78. Всякое конечное гипердействительное число бесконечно близко к некоторому стандартному числу.
(Заметим, что обратное утверждение очевидно: всякое
гипердействительное число, бесконечно близкое к некоторому
стандартному , конечно, поскольку содержится между
стандартными числами
и
.)
Пусть — конечное гипердействительное число. Рассмотрим
множество множество
всех стандартных действительных чисел,
меньших или равных
, а также множество
всех
стандартных действительных чисел, больших или равных
.
Конечность числа
гарантирует, что оба этих множества
непусты (если бы, скажем,
было пусто, то
было бы положительным бесконечно большим). Заметим, что
и
не пересекаются (если только
само не является стандартным,
и тогда доказывать нечего) и в объединении дают все
.
По аксиоме полноты существует действительное число , для
которого
. Покажем, что
бесконечно мало. Проверим, например, что для любого стандартного
выполнено неравенство
, то есть
. Это понятно: если
, то
, что противоречит свойству
. По аналогичным
причинам
.
Стандартное число , бесконечно близкое к конечному
гипердействительному
, называется стандартной
частью числа
. Стандартная часть определена однозначно,
так как два разных стандартных числа не могут быть бесконечно
близки к одному и тому же гипердействительному числу (тогда бы
они были близки друг к другу, что невозможно). Поэтому можно
ввести обозначение
для стандартной части конечного
числа
.
174. Докажите, что если и
конечны, причем
, то и
.
Теорема 79. Среди гипердействительных чисел есть ненулевые бесконечно малые, а также бесконечно большие числа.
Напомним, что по нашему предположению не совпадает с
, то есть существует некоторое нестандартное
гипердействительное число
. Если
бесконечно, то
— искомое ненулевое бесконечно малое число. Если
конечно, то
— искомое
ненулевое бесконечно малое число (а обратное к нему будет бесконечно
большим).
Заметим, что при построении гипердействительных чисел с помощью
формул (для новой константы
и всех
стандартных
) и теоремы компактности существование бесконечно больших элементов
очевидно: таковым будет значение этой самой константы
.
Теперь обратимся к натуральным и целым числам.
Теорема 80. Существуют нестандартные гипернатуральные числа, при этом все они бесконечно велики.
(Таким образом, для гипернатуральных чисел конечность и стандартность равносильны.)
Всякое положительное действительное число есть сумма
натурального и числа из . Принцип переноса гарантирует,
что всякое положительное гипердействительное число
есть
сумма гипернатурального
и гипердействительного
, для которого
. Возьмем
бесконечно
большим, тогда и
будет бесконечно большим. Первое утверждение
доказано.
Пусть теперь — конечное гипернатуральное число. По
определению конечности оно меньше некоторого стандартного числа
,
скажем, числа
. Но в стандартной модели верна формула
![\begin{multline*}
\forall x\, ( ((x\in\mathbb N) \land (x<5)) \to{} \\
{}\to((x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor (x=3)\lor (x=4))).
\end{multline*}](/sites/default/files/tex_cache/c5a6ec89c25af6368acb12c6a0267ed1.png)
![*\mathbb R](/sites/default/files/tex_cache/396c5736f1ddf3538ada557b20eb3e1b.png)
![\nu](/sites/default/files/tex_cache/4fdefba26320686bb2bd0579a0df421c.png)
![0,1,2,3,4](/sites/default/files/tex_cache/b1959ceae39bb969abbc4f584260dd9c.png)
175. Покажите, что для всякого гипердействительного числа существует большее его гипернатуральное.
176. Рассмотрим гипернатуральные числа как упорядоченное множество.
Покажите, что оно изоморфно , где
— плотное линейно упорядоченное множество без первого
и последнего элементов. (Порядок на
: сравниваются
сначала вторые элементы, а при равенстве — первые.)
Гипернатуральные числа позволяют говорить о бесконечно далеких
членах (стандартных) последовательностей действительных чисел.
Пусть — такая последовательность. Рассмотрим ее
график, то есть множество пар
, как двуместный предикат. Утверждение о том,
что этот предикат задает график функции, определенной на
натуральных числах, можно записать в виде формулы. Принцип
переноса гарантирует, что гипердействительный аналог этого
предиката будет функцией, определенной на гипернатуральных
числах и принимающей гипердействительные значения. Значение этой
функции на гипернатуральном числе
можно обозначать
, не опасаясь путаницы (при стандартных
мы получаем одно и то же).
Таким образом, любая последовательность приобретает — помимо своего желания — бесконечный "хвост".
177. Покажите, что если две последовательности отличаются лишь в конечном числе членов, то их бесконечные хвосты одинаковы.
Сейчас мы используем продолжение последовательностей для доказательства такого факта: