Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 722 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 14:

Ультрафильтры и компактность

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345678

Теорема 78. Всякое конечное гипердействительное число бесконечно близко к некоторому стандартному числу.

(Заметим, что обратное утверждение очевидно: всякое гипердействительное число, бесконечно близкое к некоторому стандартному a, конечно, поскольку содержится между стандартными числами a-1 и a+1.)

Пусть \alpha — конечное гипердействительное число. Рассмотрим множество множество L всех стандартных действительных чисел, меньших или равных \alpha, а также множество R всех стандартных действительных чисел, больших или равных \alpha. Конечность числа \alpha гарантирует, что оба этих множества непусты (если бы, скажем, R было пусто, то \alpha было бы положительным бесконечно большим). Заметим, что L и R не пересекаются (если только \alpha само не является стандартным, и тогда доказывать нечего) и в объединении дают все \mathbb R.

По аксиоме полноты существует действительное число a, для которого L\hm\le a \hm\le R. Покажем, что \alpha-a бесконечно мало. Проверим, например, что для любого стандартного e\hm>0 выполнено неравенство \alpha-a\hm<e, то есть \alpha<a+e. Это понятно: если a+e\le\alpha, то a+e\in L, что противоречит свойству L\hm\le a. По аналогичным причинам \alpha-a\hm>-e.

Стандартное число a, бесконечно близкое к конечному гипердействительному \alpha, называется стандартной частью числа \alpha. Стандартная часть определена однозначно, так как два разных стандартных числа не могут быть бесконечно близки к одному и тому же гипердействительному числу (тогда бы они были близки друг к другу, что невозможно). Поэтому можно ввести обозначение st\alpha для стандартной части конечного числа \alpha.

174. Докажите, что если \alpha и \beta конечны, причем \alpha\hm\le\beta, то и st\alpha\hm\le st\beta.

Теорема 79. Среди гипердействительных чисел есть ненулевые бесконечно малые, а также бесконечно большие числа.

Напомним, что по нашему предположению *\mathbb R не совпадает с \mathbb R, то есть существует некоторое нестандартное гипердействительное число \alpha. Если \alpha бесконечно, то 1/\alpha — искомое ненулевое бесконечно малое число. Если \alpha конечно, то \alpha-st(\alpha) — искомое ненулевое бесконечно малое число (а обратное к нему будет бесконечно большим).

Заметим, что при построении гипердействительных чисел с помощью формул c>a (для новой константы c и всех стандартных a ) и теоремы компактности существование бесконечно больших элементов очевидно: таковым будет значение этой самой константы c.

Теперь обратимся к натуральным и целым числам.

Теорема 80. Существуют нестандартные гипернатуральные числа, при этом все они бесконечно велики.

(Таким образом, для гипернатуральных чисел конечность и стандартность равносильны.)

Всякое положительное действительное число есть сумма натурального и числа из [0,1). Принцип переноса гарантирует, что всякое положительное гипердействительное число \alpha есть сумма гипернатурального \nu и гипердействительного \tau, для которого 0\hm\le\tau\hm<1. Возьмем \alpha бесконечно большим, тогда и \nu будет бесконечно большим. Первое утверждение доказано.

Пусть теперь \nu — конечное гипернатуральное число. По определению конечности оно меньше некоторого стандартного числа a, скажем, числа 5. Но в стандартной модели верна формула

\begin{multline*} 
\forall x\, ( ((x\in\mathbb N) \land (x<5)) \to{} \\ 
 {}\to((x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor (x=3)\lor (x=4))). 
 \end{multline*}
По принципу переноса она верна и в *\mathbb R, поэтому число \nu совпадает с одним из стандартных чисел 0,1,2,3,4.

175. Покажите, что для всякого гипердействительного числа существует большее его гипернатуральное.

176. Рассмотрим гипернатуральные числа как упорядоченное множество. Покажите, что оно изоморфно \mathbb N + \mathbb Z\times F, где F — плотное линейно упорядоченное множество без первого и последнего элементов. (Порядок на \mathbb Z\times F: сравниваются сначала вторые элементы, а при равенстве — первые.)

Гипернатуральные числа позволяют говорить о бесконечно далеких членах (стандартных) последовательностей действительных чисел. Пусть a_0,a_1,\dots — такая последовательность. Рассмотрим ее график, то есть множество пар \langle 0,a_0\rangle,\langle
1,a_1\rangle,\dots, как двуместный предикат. Утверждение о том, что этот предикат задает график функции, определенной на натуральных числах, можно записать в виде формулы. Принцип переноса гарантирует, что гипердействительный аналог этого предиката будет функцией, определенной на гипернатуральных числах и принимающей гипердействительные значения. Значение этой функции на гипернатуральном числе n можно обозначать a_n, не опасаясь путаницы (при стандартных n мы получаем одно и то же).

Таким образом, любая последовательность приобретает — помимо своего желания — бесконечный "хвост".

177. Покажите, что если две последовательности отличаются лишь в конечном числе членов, то их бесконечные хвосты одинаковы.

Сейчас мы используем продолжение последовательностей для доказательства такого факта:

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345678