НОУ ИНТУИТ | Языки и исчисления. Лекция 14: Ультрафильтры и компактность

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 723 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Теорема 78. Всякое конечное гипердействительное число бесконечно близко к некоторому стандартному числу.

(Заметим, что обратное утверждение очевидно: всякое гипердействительное число, бесконечно близкое к некоторому стандартному , конечно, поскольку содержится между стандартными числами a-1 и a+1 .)

Пусть $\alpha$ — конечное гипердействительное число. Рассмотрим множество множество всех стандартных действительных чисел, меньших или равных $\alpha$ , а также множество всех стандартных действительных чисел, больших или равных $\alpha$ . Конечность числа $\alpha$ гарантирует, что оба этих множества непусты (если бы, скажем, было пусто, то $\alpha$ было бы положительным бесконечно большим). Заметим, что и не пересекаются (если только $\alpha$ само не является стандартным, и тогда доказывать нечего) и в объединении дают все $\mathbb R$ .

По аксиоме полноты существует действительное число , для которого $L\hm\le a \hm\le R$ . Покажем, что $\alpha-a$ бесконечно мало. Проверим, например, что для любого стандартного $e\hm>0$ выполнено неравенство $\alpha-a\hm<e$ , то есть $\alpha<a+e$ . Это понятно: если $a+e\le\alpha$ , то $a+e\in L$ , что противоречит свойству $L\hm\le a$ . По аналогичным причинам $\alpha-a\hm>-e$ .

Стандартное число , бесконечно близкое к конечному гипердействительному $\alpha$ , называется стандартной частью числа $\alpha$ . Стандартная часть определена однозначно, так как два разных стандартных числа не могут быть бесконечно близки к одному и тому же гипердействительному числу (тогда бы они были близки друг к другу, что невозможно). Поэтому можно ввести обозначение $st\alpha$ для стандартной части конечного числа $\alpha$ .

174. Докажите, что если $\alpha$ и $\beta$ конечны, причем $\alpha\hm\le\beta$ , то и $st\alpha\hm\le st\beta$ .

Теорема 79. Среди гипердействительных чисел есть ненулевые бесконечно малые, а также бесконечно большие числа.

Напомним, что по нашему предположению $*\mathbb R$ не совпадает с $\mathbb R$ , то есть существует некоторое нестандартное гипердействительное число $\alpha$ . Если $\alpha$ бесконечно, то $1/\alpha$ — искомое ненулевое бесконечно малое число. Если $\alpha$ конечно, то $\alpha-st(\alpha)$ — искомое ненулевое бесконечно малое число (а обратное к нему будет бесконечно большим).

Заметим, что при построении гипердействительных чисел с помощью формул c>a (для новой константы и всех стандартных ) и теоремы компактности существование бесконечно больших элементов очевидно: таковым будет значение этой самой константы .

Теперь обратимся к натуральным и целым числам.

Теорема 80. Существуют нестандартные гипернатуральные числа, при этом все они бесконечно велики.

(Таким образом, для гипернатуральных чисел конечность и стандартность равносильны.)

Всякое положительное действительное число есть сумма натурального и числа из [0,1) . Принцип переноса гарантирует, что всякое положительное гипердействительное число $\alpha$ есть сумма гипернатурального $\nu$ и гипердействительного $\tau$ , для которого $0\hm\le\tau\hm<1$ . Возьмем $\alpha$ бесконечно большим, тогда и $\nu$ будет бесконечно большим. Первое утверждение доказано.

Пусть теперь $\nu$ — конечное гипернатуральное число. По определению конечности оно меньше некоторого стандартного числа , скажем, числа . Но в стандартной модели верна формула

$\begin{multline*} \forall x\, ( ((x\in\mathbb N) \land (x<5)) \to{} \\ {}\to((x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor (x=3)\lor (x=4))). \end{multline*}$

По принципу переноса она верна и в $*\mathbb R$ , поэтому число $\nu$ совпадает с одним из стандартных чисел 0,1,2,3,4

.

175. Покажите, что для всякого гипердействительного числа существует большее его гипернатуральное.

176. Рассмотрим гипернатуральные числа как упорядоченное множество. Покажите, что оно изоморфно $\mathbb N + \mathbb Z\times F$ , где — плотное линейно упорядоченное множество без первого и последнего элементов. (Порядок на $\mathbb Z\times F$ : сравниваются сначала вторые элементы, а при равенстве — первые.)

Гипернатуральные числа позволяют говорить о бесконечно далеких членах (стандартных) последовательностей действительных чисел. Пусть $a_0,a_1,\dots$ — такая последовательность. Рассмотрим ее график, то есть множество пар $\langle 0,a_0\rangle,\langle 1,a_1\rangle,\dots$ , как двуместный предикат. Утверждение о том, что этот предикат задает график функции, определенной на натуральных числах, можно записать в виде формулы. Принцип переноса гарантирует, что гипердействительный аналог этого предиката будет функцией, определенной на гипернатуральных числах и принимающей гипердействительные значения. Значение этой функции на гипернатуральном числе можно обозначать a_n , не опасаясь путаницы (при стандартных мы получаем одно и то же).

Таким образом, любая последовательность приобретает — помимо своего желания — бесконечный "хвост".

177. Покажите, что если две последовательности отличаются лишь в конечном числе членов, то их бесконечные хвосты одинаковы.

Сейчас мы используем продолжение последовательностей для доказательства такого факта:

Дальше >>

Авторизоваться

Языки и исчисления

Ультрафильтры и компактность

Вопросы и ответы