Диаграммы
Теория полугрупп
Наш второй пример — теория полугрупп. Ее сигнатура состоит из
равенства и единственного двуместного функционального символа,
называемого умножением; результат умножения и
мы
будем обозначать
.
Теория состоит из аксиом равенства (включая корректность
умножения: ; мы опускаем внешние кванторы всеобщности) и
аксиомы ассоциативности
![\forall x \forall y \forall z \, ((xy)z=x(yz)).](/sites/default/files/tex_cache/0d6ad8d6bb8f950d94432444dc6940c2.png)
Нормальные модели этой теории называются полугруппами.
Теорема 69. Множество теорем теории полугрупп (множество замкнутых формул указанной сигнатуры, истинных во всех полугруппах) неразрешимо.
Нам понадобится конкретный способ задания полугрупп с помощью образующих и соотношений. Пусть фиксировано некоторое конечное множество, называемое алфавитом. Элементы его называют буквами, а конечные последовательности букв — словами (данного алфавита). На словах определена операция соединения (приписывания), относительно которой они образуют полугруппу, которая называется свободной полугруппой. Эта полугруппа имеет нейтральный элемент — пустое слово, приписывание которого к любому слову не меняет последнего.
Пусть фиксирован алфавит , а также конечное число
пар слов
этого алфавита. Два слова алфавита
назовем
эквивалентными, если одно можно превратить в другое, многократно
делая замены подслов вида
. Легко
проверить, что получается отношение эквивалентности и что
операция приписывания корректно определена на классах
эквивалентности и ассоциативна. Получается полугруппа. Ее
называют полугруппой с образующими из
и
соотношениями
.
141. Сколько элементов в полугруппе с образующими и
и
соотношениями
,
,
(через
мы обозначаем пустое слово)? (Ответ:
; это
группа
.)
Известно, что существуют такие образующие и соотношения, при которых проблема равенства слов (выяснить, принадлежат ли два данных слова одному классу эквивалентности) является алгоритмически неразрешимой (подробнее см. в [5]). Мы сейчас покажем, что этот вопрос можно свести к вопросу о выводимости некоторой формулы в теории полугрупп, так что если бы она была разрешимой, то получилось бы противоречие.
Построение такой формулы происходит весьма естественным образом;
мы поясним его на примере. Пусть мы хотим узнать, будут ли
слова и
равны в полугруппе с
образующими
и
и
соотношениями
и
. (Другими словами, мы
хотим узнать, можно ли из слова
получить слово
с
помощью замен подслов
и
.) Как сформулировать этот вопрос в терминах формул?
Напишем такую формулу:
![\forall a\forall b\,((ab=aa)\land(bab=b)\to(bb=a)).](/sites/default/files/tex_cache/4806a34f175baafc50c9340c35cd4c82.png)
![bb](/sites/default/files/tex_cache/21ad0bd836b90d08f4cf640b4c298e7c.png)
![a](/sites/default/files/tex_cache/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![ab=aa](/sites/default/files/tex_cache/5be221b26d1dd99b554ad7e6d22e9a27.png)
![bab=a](/sites/default/files/tex_cache/3e0bfbe205241dc70adcfb5a96ed9e38.png)
![bb\hm=a](/sites/default/files/tex_cache/35bc566e959ca705c975d50ba34fb706.png)
Напротив, если слово не получается из
заменой, то существует полугруппа, в которой эта формула не истинна: надо взять как раз
полугруппу с образующими
и
и соотношениями
и
, значением переменной
считать класс слова
, а значением переменной
считать класс слова
. Тогда
значением терма
будет класс слова
, равный
классу слова
по построению полугруппы. Аналогичным образом при такой
оценке будет истинно и равенство
. А равенство
не будет истинно, так как значение терма
есть класс
слова
, значение терма
есть класс
слова
, а эти классы различны по предположению.
Таким образом, любой алгоритм, проверяющий истинность формул в классе всех полугрупп, можно было бы использовать для проверки равенства двух слов в полугруппе, заданной образующими и соотношениями. А среди таких полугрупп есть неразрешимые.
Теория групп (в которой, помимо ассоциативности, есть еще аксиомы существования единицы и обратного), также неразрешима, но доказательство этого сложнее, чем для полугрупп. Это и не удивительно, поскольку из неразрешимости теории групп формально выводится неразрешимость теории полугрупп, как показывает следующая задача.
142. Пусть теория разрешима, а теория
той же
сигнатуры получается из
добавлением конечного числа аксиом. Тогда
теория
разрешима. (Указание: дополнительные аксиомы
соединяем конъюнкциями и помещаем в посылку импликации.)
Добавление аксиом может сделать неразрешимую теорию разрешимой. Например, как мы уже упоминали, это происходит с теорией групп при добавлении аксиомы коммутативности.