Диаграммы
Лемма о расширении.
Если все -следствия теории
истинны в
интерпретации
, то можно построить ее расширения
так, чтобы
было моделью теории
, а
было
элементарным расширением
.
Прежде чем доказывать лемму о расширении, покажем (хотя это нам
и не понадобится), что сформулированное условие необходимо.
Пусть , причем
—
элементарное расширение
. Тогда любое
-утверждение,
истинное в
, истинно и в
. В самом деле, пусть утверждение
с бескванторной формулой
истинно в
. Проверим его истинность в
. Если оно
ложно при
, то
ложно и
в
, и в
(элементарность расширения) и потому не может быть истинным
в
(поскольку всякое
из
лежит и
в
).
Доказательство леммы о расширении. Что требуется от данного
расширения интерпретации
, чтобы можно было
построить
с требуемыми свойствами? Свойства эти состоят в том, что
должно быть моделью теории
и расширением
интерпретации
. Как раз про это говорит
теорема 70, надо лишь в качестве
в этой теореме взять нашу сигнатуру
с добавленными
константами для
(мы обозначали ее
), а в
качестве теории
из теоремы 70 взять
, то есть множество всех истинных в
формул
с константами из
.
Применяя указанный в теореме 70 критерий, можно сформулировать утверждение, которое нам осталось доказать,
так: найдется модель теории
, которая является
расширением
и в которой истинны все
-формулы
сигнатуры
, выводимые из
. Вспоминая
метод диаграмм, можно сказать, что нас интересует совместность
теории
с
и со всеми
-
следствиями теории
в сигнатуре
. В данном случае
можно и не упоминать явно, так как оно содержится в
.
Итак, осталось доказать, что теория совместна со всеми
-формулами с константами из
, истинными
в
. Если это не так, из
выводится отрицание какой-то из этих
формул, то есть некоторая
-формула
![\exists \beta_1\dots\exists \beta_m\,
\lnot\varphi(a_1,\dots,a_n,\beta_1,\dots,\beta_m),](/sites/default/files/tex_cache/4244447ddf30a5df8c7e36f599d4253c.png)
![A](/sites/default/files/tex_cache/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![a_1,\dots,a_n](/sites/default/files/tex_cache/29f26cf9fc8aa164f8880b9a1c202a31.png)
![T](/sites/default/files/tex_cache/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![T](/sites/default/files/tex_cache/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![\forall \alpha_1\ldots\forall \alpha_n
\exists \beta_1\dots\exists \beta_m\,
\lnot\varphi(\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_m),](/sites/default/files/tex_cache/1d3a5d018a01625fad11735331ff61ec.png)
![T](/sites/default/files/tex_cache/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![\Pi_2](/sites/default/files/tex_cache/ba0d501129e621abc42185dc86f414a9.png)
![A](/sites/default/files/tex_cache/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
Лемма о расширении (а с ней и теорема Чэна-Лося-Сушко) доказана.
154. Докажите, что если формула устойчива относительно объединения
возрастающих цепей, то она выводимо эквивалентна некоторой -формуле той же сигнатуры.
155. Покажите, что две интерпретации одной сигнатуры элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные элементарные расширения.