Диаграммы
Теорема 73. Теория является -аксиоматизируемой тогда и только
тогда, когда она устойчива относительно перехода к расширениям.
151. Проведите подробно соответствующее рассуждение (дав необходимые определения).
152. Докажите, что если формула устойчива относительно перехода к
расширениям, то она выводимо эквивалентна -формуле
той же сигнатуры.
Теоретико-модельные критерии существуют и для других классов
формул, в частности -формул (то есть формул типа
). Такие формулы не устойчивы ни относительно
расширений, ни относительно подструктур. Рассмотрим, например,
утверждение об отсутствии наибольшего элемента в упорядоченном
множестве. Оно записывается в виде
-формулы.
Истинность его в некотором множестве вовсе не влечет его
истинность в подмножествах и в расширениях. Тем не менее кое-
что об этом утверждении сказать можно: если ни одно из множеств
возрастающей цепи
не имеет наибольшего элемента, то и объединение
не
имеет наибольшего элемента (проверьте). Именно это свойство, как
мы вскоре увидим, характеризует
-формулы.
Пусть дана последовательность
![M_0\hm\subset M_1\hm\subset M_2\hm\subset\ldots](/sites/default/files/tex_cache/116c5b6739ff93ac4317c0ae18357176.png)
![\sigma](/sites/default/files/tex_cache/a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21.png)
![M_i](/sites/default/files/tex_cache/cf02c22fc164faf4976cae168d7d73bd.png)
![M_{i+1}](/sites/default/files/tex_cache/8cbcdf4d211c3c2d9bb7ccf95beee84f.png)
![\sigma](/sites/default/files/tex_cache/a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21.png)
Заметим, что любая -формула устойчива относительно
объединения цепей: если она истинна во всех
, то она
истинна и в их объединении. В самом деле, пусть формула
с бескванторной частью
истинна во всех
. Тогда она истинна
и в их объединении. В самом деле, любое
из объединения принадлежит
какому-то
, и в том же самом
можно найти
подходящее
. (Если переменных несколько, рассуждение
аналогично.)
Поэтому и любая теория, имеющая -аксиоматизацию,
устойчива относительно объединения. Обратное утверждение также
верно:
Теорема 74 (Чэна-Лося-Сушко). Теория является -аксиоматизируемой тогда и только
тогда, когда она устойчива относительно объединения возрастающих
цепей (объединение любой цепи ее моделей также является ее моделью).
Доказательство этой теоремы использует понятие элементарного
расширения. Напомним, что называется элементарным
расширением
, если
и в
истинны те же формулы с константами из
, что и в
.
(Обозначение:
.)
153. Покажите, что если , то
есть элементарное расширение
.
Лемма Тарского. Объединение цепи элементарных расширений является элементарным расширением
каждой из интерпретаций цепи.
Доказательство леммы. Пусть параметрам формулы приданы
значения в каком-либо из
. Нам надо доказать, что
полученная формула одновременно истинна или ложна в
и в
объединении цепи, которое мы обозначим через
. (Условие
леммы гарантирует, что формула
с указанными значениями
параметров одновременно истинна или ложна во всех интерпретациях цепи, начиная с
.)
Это утверждение доказывается индукцией по построению
формулы . Для атомарных формул оно очевидно; для
логических операций индукция также проходит автоматически.
Единственный содержательный случай — это кванторы. Пусть формула
начинается с квантора
. Если
подходящее значение
найдется уже в
, то оно годится и
для
(пользуемся предположением индукции). В обратную сторону: если
подходящее
найдется в
, то оно принадлежит
при достаточно большом
, поэтому формула истинна в
(предположение индукции). Остается вспомнить, что
элементарно эквивалентно
.
Как всегда, квантор всеобщности можно выразить с помощью квантора сушествования (или провести двойственное рассуждение). Лемма Тарского доказана.
Теперь докажем теорему Чэна-Лося-Сушко. Предположим, что
теория устойчива относительно объединения цепей. Обозначим
через
множество всех
-теорем
. Нам надо доказать, что любая модель
является моделью
.
Для этого, начав с любой модели теории
, мы
построим цепь интерпретаций
![M'= M_0\subset M_1\subset M_2\subset M_3\subset\ldots,](/sites/default/files/tex_cache/cd0ee6fedab0c9c7ef42574df2822494.png)
![T'](/sites/default/files/tex_cache/6f3357ae1d6de5c7df30cf8503177f87.png)
![M_0,M_2,M_4,\dots](/sites/default/files/tex_cache/6b7a8df7d1ed5ef2ee5cacae760e4379.png)
![T](/sites/default/files/tex_cache/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![M_1,M_3,M_5,\dots](/sites/default/files/tex_cache/fe8e4de4f9e1f0d733ae011d9713d8e9.png)
![T'](/sites/default/files/tex_cache/6f3357ae1d6de5c7df30cf8503177f87.png)
Объединение всех будет моделью теории
, так
как эта теория устойчива относительно расширений. С другой стороны, по
лемме Тарского это объединение элементарно эквивалентно
интерпретациям
Поэтому все они, включая
исходную модель
, будут моделями теории
,
что и требовалось доказать.
Осталось построить требуемую цепь. Интерпретация уже
есть. Будем строить цепь по шагам, продолжая ее на каждом шаге
на два звена вперед. Возможность этого обеспечивает такая лемма: