Диаграммы
Теорема 71. Пусть даны две теории (с равенством) и
некоторой сигнатуры. Тогда следующие свойства равносильны:
(а) существует нормальная модель теории и ее расширение,
являющееся нормальной моделью теории
;
(б) объединение со всеми
-теоремами теории
совместно;
(в) объединение со всеми
-теоремами теории
совместно.
Прежде всего отметим, что из (а) очевидно следуют (б) и (в). В
самом деле, если — модели соответствующих
теорий, то в
истинны все теоремы теории
и все
-теоремы теории
(поскольку они наследуются
из
), а в
истинны все теоремы
теории
и все
-теоремы теории
.
Легко проверить, что симметричные условия (б) и (в) равносильны
друг другу, а также такому свойству: не существует -
теоремы
теории
и отрицающей ее
-теоремы
теории
. Пусть, например, теория
несовместна с
-следствиями теории
. В этом
противоречии участвует конечное число
-формул,
которые можно объединить в одну. Получится
-формула, она
будет выводима в теории
, а ее отрицание — в
.
Нам осталось доказать, что любое из свойств (б) и (в) влечет (а).
Здесь нам придется нарушить симметрию и использовать именно (б).
По условию есть интерпретация , в которой истинны все
теоремы теории
и все
-теоремы
теории
. Согласно теореме 70 найдется ее
расширение
, являющееся моделью
, что и
требовалось доказать.
Можно было бы пытаться рассуждать симметричным образом,
начав с модели теории , в которой истинны все
-теоремы теории
, и пытаться выделить в ней подструктуру, являющуюся
моделью теории
. Однако этот план не проходит, поскольку
аналог теоремы 70 для подструктур неверен.
149. Покажите, что возможна такая ситуация: все -теоремы
некоторой теории
истинны в некоторой
интерпретации
, но
не имеет подструктуры, являющейся моделью теории
.
(Указание. Рассмотрим теорию линейно упорядоченных множеств без
минимального элемента. Все ее
-следствия верны в
, поскольку переносятся
из
, поэтому в силу элементарной эквивалентности
верны и в
.)
Вот еще одно следствие доказанных в этом разделе результатов.
Теорию называют
-аксиоматизируемой,
если существует множество
-формул, из которого
выводятся все теоремы теории
и только они.
Напомним, что нормальная интерпретация сигнатуры
является подструктурой нормальной интерпретации
той
же сигнатуры, если
является расширением
, то есть
носитель интерпретации
есть подмножество носителя
интерпретации
и функциональные и предикатные символы
интерпретируются одинаково на аргументах из
.
(Другими словами, чтобы задать какую-либо подструктуру данной
нормальной интерпретации
, нужно выбрать подмножество
носителя
, замкнутое относительно сигнатурных операций.)
Теорема 72 (Лося-Тарского). Теория -аксиоматизируема
тогда и только тогда, когда она устойчива относительна перехода к подструктурам, то есть
когда любая подструктура любой ее нормальной модели является ее
моделью.
Очевидно, -аксиоматизируемая теория устойчива
относительно перехода к подструктурам (все формулы из ее
-аксиоматизации остаются истинными). Обратно, пусть
— произвольная теория, устойчивая относительно перехода к
подструктурам. Рассмотрим множество
всех
-
формул, выводимых в
. Проверим, что все теоремы
выводятся
из
. Пусть какая-то формула
выводится
из
, но не из
. Тогда теория
непротиворечива и по теореме 71 найдется (нормальная) модель
теории
и ее расширение, являющееся моделью
теории
, что противоречит предположению.
150. Докажите, что если формула устойчива относительно перехода к
подструктурам, то она выводимо эквивалентна -формуле той
же сигнатуры.
Симметричное рассуждение доказывает симметричное утверждение про -аксиоматизируемые теории.