Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1627 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 13:

Индуктивные определения и степени

< Лекция 12 || Лекция 13: 123 || Лекция 14 >
Аннотация: Определяется ряд теорем с подробными доказательствами, которые полностью описывают операции сложения и умножения ординалов. Есть некоторые замечания по ходу объяснения лекции, на которые следует обратить внимание. Как обычно, множество задач для самостоятельного решения. Также приведены несколько теорем для создания более полного представления о материале лекции

Мы определили сложение и умножение ординалов с помощью явных конструкций порядка на соответствующих множествах. Вместо этого можно было бы их определить индуктивно.

Теорема 38.Сложение ординалов обладает следующими свойствами:

\begin{align*}
\alpha+ 0 &= \alpha;\\
\alpha+(\beta+1) &= (\alpha+\beta)+1;\\
\alpha+\gamma&= \sup\{\alpha+\beta\mid \beta<\gamma\}
    \text{ для предельного $\gamma\hm\ne0$}.
        \end{align*}
Эти свойства однозначно определяют операцию сложения.

Доказательство. Два первых свойства очевидны; проверим третье. Если \beta\hm<\gamma, то \alpha\hm+\beta\hm<\alpha\hm+\gamma, так что \alpha\hm+\gamma будет верхней границей всех сумм вида \alpha\hm+\beta при \beta\hm<\gamma. Надо проверить, что эта граница точная. Пусть некоторый ординал \tau меньше \alpha\hm+\gamma. Убедимся, что он меньше \alpha\hm+\beta для некоторого \beta\hm<\gamma. Если \tau\hm<\alpha, все очевидно. Если \tau\hm\ge\alpha, представим его в виде \tau\hm=\alpha\hm+\sigma. Тогда \alpha\hm+\sigma \hm< \alpha\hm+\gamma и потому \sigma\hm<\gamma. Поскольку ординал \gamma предельный, \sigma\hm+1 также меньше \gamma и остается положить \beta\hm=\sigma\hm+1.

Указанные свойства однозначно определяют операцию сложения, так как представляют собой рекурсивное определение по \beta (если есть две операции сложения, обладающие этими свойствами, возьмем минимальное \beta, для которого они различаются и т.д).

Аналогично можно определить и умножение:

Теорема 39. Умножение ординалов обладает следующими свойствами:

\begin{align*}
\alpha 0 &= 0;\\
\alpha(\beta+1) &= \alpha\beta+\alpha;\\
\alpha\gamma&= \sup\{\alpha\beta\mid \beta<\gamma\}
    \text{ для предельного $\gamma\hm\ne0$}.
        \end{align*}
Эти свойства однозначно определяют операцию умножения.

Доказательство. Доказательство аналогично, нужно только проверить, что если \tau\hm<\alpha\gamma для предельного \gamma, то \tau\hm<\alpha\beta для некоторого \beta\hm<\gamma. Как мы видели на с.101, ординал \tau имеет вид \tau\hm=\alpha\gamma'\hm+\alpha' при \gamma'\hm<\gamma ; достаточно положить \beta\hm=\gamma'\hm+1.

Возникает естественное желание определить операцию возведения в степень. Мы уже по существу определили возведение в целую положительную степень ( \alpha^n есть произведение n сомножителей, равных \alpha ). Другими словами, если A упорядочено по типу \alpha, то множество A^n последовательностей длины n с элементами из A с обратным лексикографическим порядком (сравнение справа налево) упорядочено по типу \alpha^n.

Следующий шаг- определить \alpha^\omega. Первая идея, приходящая в голову- взять множество A^{\bbN} бесконечных последовательностей и определить на нем полный порядок. Но как его ввести- неясно. Поэтому можно попробовать определить возведение в степень индуктивно с помощью следующих соотношений:

\begin{align*}
\alpha^0 &= 1;\\
\alpha^{\beta+1} &= \alpha^\beta\cdot\alpha;\\
\alpha^\gamma&= \sup\{\alpha^\beta\mid \beta<\gamma\}
    \text{ для предельного $\gamma\hm\ne0$}.
        \end{align*}
Теорема 18 (о трансфинитной рекурсии) гарантирует, что эти соотношения однозначно определяют некоторую операцию над ординалами, которая и называется возведением в степень.

Замечание. Тут опять мы подходим к опасной границе парадоксов и вынуждены выражаться уклончиво. На самом деле теорема о трансфинитной рекурсии говорила об определении функции на вполне упорядоченном множестве, а ординалы не образуют множества- их слишком много. Кроме того, в ней шла речь о функциях со значениями в некотором заданном множестве, которого здесь тоже нет. Подобные индуктивные определения можно корректно обосновать в теории множеств с использованием так называемой аксиомы подстановки, но мы об этом говорить не будем. Вместо этого мы дадим явное описание возведения в степень, свободное от этих проблем.

Чтобы понять смысл возведения в степень, посмотрим, как выглядит ординал \alpha^\omega (для некоторого \alpha ). Пусть A - множество, упорядоченное по типу \alpha. Ординал \alpha^\omega по определению есть точная верхняя грань \alpha^n для натуральных n. Ординал \alpha^n есть порядковый тип множества A^n, упорядоченного в обратном лексикографическом порядке. Чтобы найти точную верхнюю грань, представим множества A^n как начальные отрезки друг друга. Например, A^2 состоит из пар \langle a_1,a_2\rangle и отождествляется с начальным отрезком в A^3, состоящим из троек \langle a_1,a_2,0\rangle. (Здесь 0 - наименьший элемент в A.) Теперь видно, что все множества A^n можно рассматривать как начальные отрезки множества A^\infty, состоящего из бесконечных последовательностей a_0, a_1, \dots, элементы которых принадлежат A и в которых лишь конечное число членов отлично от нуля. (Последнее требование делает корректным определение обратного лексикографического порядка- мы находим самую правую позицию, в которой последовательности различаются, и сравниваем их значения в этой позиции.) В объединении эти начальные отрезки дают все A^\infty, так что это множество с описанным порядком имеет тип \alpha^\omega.

Аналогичное утверждение верно и для любого показателя степени.

Пусть A и B - вполне упорядоченные множества, имеющие порядковые типы \alpha и \beta. Рассмотрим множество [B\to A] состоящее из отображений B в A, имеющих " конечный носитель" (равных минимальному элементу A всюду, за исключением конечного множества). Введем на [B\nolinebreak\to A] порядок: если f_1\hm\ne f_2, выберем наибольший элемент b\hm\in B, для которого f_1(b)\hm\ne f_2(b) и сравним f_1(b) и f_2(b).

< Лекция 12 || Лекция 13: 123 || Лекция 14 >
Игорь Васильев
Игорь Васильев
Россия, СПб