Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1627 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 6:

Операции над мощностями

< Лекция 5 || Лекция 6 || Лекция 7 >
Аннотация: Для мощностей характерно большое количество операций, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность и др. В лекции описываются все эти операции с некоторыми доказательствами их справедливости. Также определяются свойства счетных множеств. Различные примеры, решение вопроса о разбиении множества на непересекающиеся части. Рассматриваются также важные моменты, изучение которых избавит от непредвиденных трудностей в последствии

Мощности конечных множеств - натуральные числа, и их можно складывать, умножать, возводить в степень. Эти операции можно обобщить и на мощности бесконечных множеств, и делается это так.

Пусть A и B - два множества. Чтобы сложить их мощности, надо взять мощность множества A\hm\cup B, если A и B не пересекаются. Если они пересекаются, то их надо заменить на непересекающиеся равномощные им множества A' и B'. Мощность объединения и будет суммой мощностей множеств A и B.

Замечания.

  1. Чтобы избежать упоминания мощностей как самостоятельных объектов, следует считать выражение " мощность множества C есть сумма мощностей множеств A и B " идиоматическим выражением (а сказанное выше - его определением). Но мы для удобства будем часто пренебрегать такими предосторожностями.
  2. В принципе следовало бы проверить корректность этого определения и доказать, что мощность множества A'\hm\cup B' не зависит от того, какие именно непересекающиеся множества A' и B' (равномощные A и B ) мы выберем. (Что, впрочем, очевидно.)
  3. Для конечных множеств получается обычное сложение натуральных чисел.
  4. Наконец, формально следовало бы еще доказать, что такие A' и B' можно выбрать. Это можно сделать, например, так: положим A'\hm=A\times\{0\} и B'\hm=B\times\{1\}.

Последней проблемы не будет при определении произведения мощностей как мощности декартова произведения A\hm\times B. (Но остальные замечания остаются в силе.)

Теперь определим возведение в степень. Для этого рассмотрим (для данных A и B ) множество всех функций вида f\colon B\hm\to A (напомним: это означает, что их область определения есть B, а область значений содержится в A ). Это множество обозначается A^B, и его мощность и будет результатом операции возведения в степень.

Если множества A и B конечны и содержат a и b элементов соответственно, то A^B содержит как раз a^b элементов. В самом деле, определяя функцию f\colon B\hm\to A, мы должны определить ее значение на каждом из b элементов. Это можно сделать a способами, так что получаем всего a^b вариантов.

66. Чему равно 0^0 согласно нашему определению?

Пример. Обозначим через 2 какое- нибудь множество из двух элементов, например, \{0,1\}. Что такое 2^\mathbb{N}? По определению это множество функций f\colon\mathbb{N}\hm\to\{0,1\}. Такие функции - это по существу последовательности нулей и единиц, только вместо f_0f_1f_2\dots мы пишем f(0), f(1), f(2), \dots (Формально последовательность элементов некоторого множества X так и определяется - как функция типа \bbN\hm\to X.)

Заметим, что 2^X равномощно P(X) (в частном случае X\hm=\bbN мы это доказывали; для общего случая доказательство такое же).

Обычные свойства сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) сохраняют силу и для арифметики мощностей:

\begin{align*}
        %
 a+b&= b+a;\\
        %
a+(b+c)&=(a+b)+c;\\
        %
a\times b&= b\times a;\\
%\end{align*}
%\begin{align*}
        %
a\times (b \times c)&= (a\times b)\times c;\\
        %
(a+b)\times c&= (a\times c)+(b \times c).
        %
\end{align*}

Формально их следует читать, избегая слова " мощность" как самостоятельного объекта: например, a\hm\times b\hm=b\hm\times
a означает, что A\hm\times B и B\hm\times A равномощны (и это легко проверить: \langle x,y\rangle \hm\mapsto \langle y,x\rangle будет взаимно однозначным соответствием между ними). Остальные свойства доказываются столь же просто. Чуть сложнее свойства, включающие возведение в степень:

\begin{align*}
        %
a^{b+c}&=a^b\times a^c;\\
        %
(ab)^c&=a^c\times b^c;\\
        %
(a^b)^c&=a^{b\times c}.
        %
\end{align*}

Проверим первое из них. Из чего состоит A^{B+C}? (Будем считать, что B и C не пересекаются.) Его элементами являются функции со значениями в A, определенные на B\hm+C. Такая функция состоит из двух частей: своего сужения на B (значения на аргументах из B остаются теми же, остальные отбрасываются) и своего сужения на C. Тем самым для каждого элемента множества A^{B+C} мы получаем пару элементов из A^B и A^C. Это и будет искомое взаимно однозначное соответствие.

С соответствием между множествами (A\times B)^C и A^C\hm\times B^C мы тоже часто сталкиваемся. Например, элемент множества (\bbR\hm\times\bbR)^{\bbR} есть отображение типа \bbR\hm\to\bbR\hm\times\bbR, то есть кривая t\hm\mapsto z(t)\hm= \langle x(t),y(t)\rangle на плоскости. Такая кривая задается парой функций x,y\colon \bbR\hm\to\bbR.

Соответствие между (A^B)^C и A^{(B\times C)} встречается несколько реже. Элемент f\hm\in A^{(B\times C)} является отображением B\hm\times C\hm\to A, то есть, в обычной терминологии, функцией двух аргументов (первый из B, второй из C ). Если зафиксировать в ней второй аргумент, то получится функция f_c\colon B\hm\to A, определенная соотношением f_c(b)\hm=f(b,c) (точнее, f(\langle b,c\rangle) ). Отображение с\hm\mapsto f_c, принадлежащее (A^B)^C, и соответствует элементу f\hm\in A^{(B\times C)}. (Отчасти сходная конструкция встречается в алгебре, когда многочлен от двух переменных рассматривают как многочлен от одной переменной с коэффициентами в кольце многочленов от второй переменной.)

Мощность счетного множества символически обозначается \aleph_0, мощность континуума (отрезка или множества бесконечных последовательностей нулей и единиц) обозначается \mathfrak{c}. По определению, \mathfrak{c}=2^{\aleph_0}.

(Естественный вопрос: каков смысл индекса 0 в \aleph_0? что такое, скажем, \aleph_1? Обычно \aleph_1 обозначает наименьшую несчетную мощность (как мы увидим, такая существует). Гипотеза континуума, о которой мы упоминали ранее, утверждает, что \mathfrak{c}=\aleph_1.)

Известные нам свойства счетных множеств можно записать так:

  • \aleph_0 \hm+ n \hm= \aleph_0 для конечного n (объединение счетного и конечного множеств счетно);
  • \aleph_0 \hm+ \aleph_0 \hm= \aleph_0 (объединение двух счетных множеств счетно);
  • \aleph_0 \hm\times \aleph_0 \hm= \aleph_0 (объединение счетного числа счетных множеств счетно).

Отсюда можно формально получить многие факты манипуляциями с мощностями. Например, цепочка равенств

\mathfrak{c}\times \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}\times 2^{\aleph_0} =
                                  2^{\aleph_0+\aleph_0} =
                                  2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}
показывает, что прямая и плоскость равномощны.

Аналогичным образом,

\mathfrak{c}^{\aleph_0}= (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=
2^{\aleph_0 \times \aleph_0}= 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}.

67. Объясните подробно выкладку:

\mathfrak{c}+\mathfrak{c} = 1\times\mathfrak{c}+1\times\mathfrak{c}=
        2\times\mathfrak{c}=2^1\times 2^{\aleph_0} = 2^{1+\aleph_0} =
                              2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}.

68. Проверьте, что \aleph_0 \times \mathfrak{c} = \mathfrak{c}.

Приведенные нами свойства мощностей полезно сочетать с теоремой Кантора- Бернштейна. Например, заметим, что

\mathfrak{c} =
    2^{\aleph_0}
     \le {\aleph_0}^{\aleph_0}
        \le \mathfrak{c}^{\aleph_0}
           = \mathfrak{c},
поэтому {\aleph_0}^{\aleph_0}= \mathfrak{c} (словами: множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума).

69. Последнее рассуждение неявно использует монотонность операции возведения в степень для мощностей (если a_1\hm\le a_2, то a_1^b
\hm\le a_2^b ). Проверьте это и аналогичные свойства для других операций (впрочем, почти очевидные).

70. Установите явное соответствие между последовательностями натуральных чисел и иррациональными числами на отрезке (0,1), используя цепные дроби, то есть дроби вида 1/(n_0\hm+1/(n_1\hm+1/(n_2+\ldots))).

71. Проверьте, что \aleph_0 ^\mathfrak{c} \hm= 2^\mathfrak{c}. (Напомним, что по теореме Кантора эта мощность больше мощности континуума.)

72. Какова мощность множества всех непрерывных функций с действительными аргументами и значениями? Существенна ли здесь непрерывность?

73. Какова мощность множества всех монотонных функций с действительными аргументами и значениями?

74. Может ли семейство подмножеств натурального ряда быть несчетным, если любые два его элемента имеют конечное пересечение? конечную симметрическую разность?

Впоследствии мы увидим, что для бесконечных мощностей a\hm\times b
\hm= a\hm+b \hm= \max(a,b), но пока этого мы доказать не можем. Поэтому в задачах 47, 48, нам пришлось воспользоваться обходным маневром, чтобы доказать, что из a\hm+b\hm=\mathfrak{c} следует a\hm=\mathfrak{c} или b\hm=\mathfrak{c}. Следующее утверждение обобщает этот прием:

Теорема 10. Если множество A_1\hm\times A_2\hm\times\ldots\times A_n разбито на непересекающиеся части B_1, \dots, B_n, то найдется такое i, при котором мощность B_i не меньше мощности A_i.

Доказательство. В самом деле, рассмотрим проекцию множества B_i\hm\subset
A_1\hm\times\ldots\hm\times A_n на A_i. Если хотя бы при одном i она покрывает A_i полностью, то все доказано. Если нет, выберем для каждого i непокрытую точку x_i. Набор \langle
x_1,\dots,x_n\rangle не входит ни в одно из множеств B_i, что противоречит предположению.

Заметим, что в формулировке этого утверждения (которое иногда называют теоремой Кенига) говорится о декартовом произведении конечного числа множеств, которое можно определить индуктивно (скажем, A\hm\times B\hm\times C будет состоять из троек \langle a,b,c\rangle, которые суть пары \langle
\langle
a,b\rangle,c\rangle ). Декартово произведение счетного числа множеств уже так не определишь. Выход такой: A_0\hm\times A_1\hm\times A_2 \hm\times\ldots (счетное число сомножителей) можно определить как множество всех последовательностей a_0, a_1, a_2, \dots, у которых a_i\hm\in
A_i, то есть как множество всех функций a, определенных на \bbN со значениями в объединении всех A_i, причем a(i)\in A_i при всех i. После такого определения теорема 10 легко переносится и на счетные (а также и на любые) произведения.

Переходя к отрицаниям, теорему Кенига можно сформулировать так: если при всех i=0,1,2,\ldots для мощностей a_i и b_i выполнено неравенство b_i \hm< a_i, то

b_0 + b_1 + b_2 + \ldots < a_0 \times a_1 \times a_2\times\ldots

Учитывая, что \mathfrak{c}\hm\times\mathfrak{c}\hm\times\ldots (счетное произведение) равно \mathfrak{c}^{\aleph_0}, то есть \mathfrak{c}, можно сформулировать такое следствие теоремы Кенига: если континуум разбит на счетное число подмножеств, то одно из них имеет мощность континуума.

75. Докажите подробно это утверждение.

76. Пусть a_0,a_1,a_2,\ldots - мощности, причем a_i\ge 2 для всех i. Покажите, что

a_0 + a_1 + a_2 + \ldots \le a_0 \times a_1 \times a_2\times\ldots

77. Пусть m_0 < m_1 < m_2 <\dots - возрастающая последовательность мощностей. Докажите, что сумма m_0\hm+m_1\hm+m_2\hm+\ldots не представима в виде a^{\aleph_0} ни для какой мощности a.

< Лекция 5 || Лекция 6 || Лекция 7 >
Kirill Annenkov
Kirill Annenkov
Украина
Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод