Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1627 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 4:

Теорема Кантора

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Аннотация: Теорема Кантора – одна из основополагающих задач теории множеств. Рассматривается доказательство теоремы с подробным объяснением каждого шага. Рассматривается сложный вопрос о том, являются ли множества своими элементами. Дается некоторая историческая информация, связанная с доказательством данной теоремы и других утверждений. Как всегда, немного задач для самостоятельного решения

Классический пример неравномощных бесконечных множеств (до сих пор такого примера у нас не было!) дает " диагональная конструкция Кантора".

Теорема Кантора

Множество бесконечных последовательностей нулей и единиц несчетно.

Доказательство

Предположим, что оно счетно. Тогда все последовательности нулей и единиц можно перенумеровать: \alpha_0,\alpha_1,\dots Составим бесконечную вниз таблицу, строками которой будут наши последовательности:

\begin{array}{c}
\begin{array}{cccccc}
\alpha_0 & = & \underline{\alpha_{00}}&
            \alpha_{01} & \alpha_{02} & \ldots\\
\alpha_1 & = & \alpha_{10} & \underline{\alpha_{11}}& \alpha_{12}
& \ldots\\
\alpha_2 & = & \alpha_{20} & \alpha_{21} &
\underline{\alpha_{22}}& \ldots
\end{array}\\
\hbox to 4.5cm{\dotfill}
\end{array}
(через \alpha_{ij} мы обозначаем j -й член i -й последовательности). Теперь рассмотрим последовательность, образованную стоящими на диагонали членами \alpha_{00}, \alpha_{11}, \alpha_{22}, \dots ; ее i -й член есть \alpha_{ii} и совпадает с i -м членом i -й последовательности. Заменив все члены на противоположные, мы получим последовательность \beta, у которой
\beta_{i}= 1 - \alpha_{ii},
так что последовательность \beta отличается от любой из последовательностей \alpha_i (в позиции i ) и потому отсутствует в таблице. А мы предположили, что таблица включает в себя все последовательности - противоречие.

Из этой теоремы следует, что множество \bbR действительных чисел (которое, как мы видели, равномощно множеству последовательностей нулей и единиц) несчетно. В частности, оно не может совпадать со счетным множеством алгебраических чисел и потому существует действительное число, не являющееся алгебраическим (не являющееся корнем никакого ненулевого многочлена с целочисленными коэффициентами). Такие числа называют трансцендентными.

К моменту создания Кантором теории множеств уже было известно, что такие числа существуют. Первый пример такого числа построил в 1844 году французский математик Ж.Лиувилль. Он показал, что число, хорошо приближаемое рациональными, не может быть алгебраическим (таково, например, число \sum(1/10^{n!}) ). Доказательство теоремы Лиувилля не очень сложно, но все-таки требует некоторых оценок погрешности приближения; на его фоне доказательство Кантора, опубликованное им в 1874 году, выглядит чистой воды фокусом. Эта публикация была первой работой по теории множеств; в ее первом параграфе доказывается счетность множества алгебраических чисел, а во втором - несчетность множества действительных чисел. (Общее определение равномощности было дано Кантором лишь через три года, одновременно с доказательством равномощности пространств разного числа измерений, о котором мы уже говорили.)

Отметим кстати, что в том же 1874 году французский математик Ш.Эрмит доказал, что основание натуральных логарифмов e трансцендентно, а через восемь лет немецкий математик Ф.Линдеман доказал трансцендентность числа \pi и тем самым невозможность квадратуры круга.

В нескольких следующих задачах мы предполагаем известными некоторые начальные сведения из курса математического анализа.

54. Покажите, что для всякого несчетного множества A\hm\subset\bbR можно указать точку a, любая окрестность которой пересекается с A по несчетному множеству. (Утверждение остается верным, если слова " несчетное множество" заменить на " множество мощности континуума".)

55. Покажите, что любое непустое замкнутое множество A\subset\bbR без изолированных точек имеет мощность континуума.

56. Покажите, что любое замкнутое множество A\subset\bbR либо конечно, либо счетно, либо имеет мощность континуума. (Указание. Рассмотрим множество B\hm\subset A, состоящее из тех точек множества A, в любой окрестности которых несчетно много других точек из A. Если B пусто, то A конечно или счетно. Если B непусто, то оно замкнуто и не имеет изолированных точек.)

Эта задача показывает, что для замкнутых подмножеств прямой верна гипотеза континуума, утверждающая, что любое подмножество прямой либо конечно, либо счетно, либо равномощно \bbR. (Кантор, доказавший этот факт, рассматривал его как первый шаг к доказательству гипотезы континуума для общего случая, но из этого ничего не вышло.)

57. Из плоскости выбросили произвольное счетное множество точек. Докажите, что оставшаяся часть плоскости линейно связна и, более того, любые две невыброшенные точки можно соединить двухзвенной ломаной, не задевающей выброшенных точек.

Вернемся к диагональной конструкции. Мы знаем, что множество последовательностей нулей и единиц равномощно множеству подмножеств натурального ряда (каждому подмножеству соответствует его " характеристическая последовательность", у которой единицы стоят на местах из этого подмножества). Поэтому можно переформулировать эту теорему так:

Множество \bbN не равномощно множеству своих подмножеств.

Доказательство также можно шаг за шагом перевести на такой язык: пусть они равномощны; тогда есть взаимно однозначное соответствие i\hm\mapsto A_i между натуральными числами и подмножествами натурального ряда. Диагональная последовательность в этих терминах представляет собой множество тех i, для которых i\hm\in A_i, а последовательность \beta, отсутствовавшая в перечислении, теперь будет его дополнением ( B=\{i \mid i \notin A_i\} ).

При этом оказывается несущественным, что мы имеем дело с натуральным рядом, и мы приходим к такому утверждению:

< Лекция 3 || Лекция 4: 12 || Лекция 5 >
Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003
Igor Yasnytsky
Igor Yasnytsky
Украина, Kyiv