Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1627 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 14:

Приложения ординалов

< Лекция 13 || Лекция 14: 123
Аннотация: Заключительная лекция курса "Введение в теорию множеств". Рассматриваются некоторые утверждения с доказательствами, такие как: существует множество точек на плоскости, которое пересекается с каждой прямой ровно в двух точках, всякий счетный ординал является рангом некоторого дерева, семейство всех борелевских множеств имеет мощность континуума и др. В лекции подробно описываются многие вопросы. О теории множеств можно говорить сколь угодно много и проводить обширные рассуждения на счет справедливости тех или иных утверждений, но основные понятия, основные теоремы и определения очень хорошо описываются в данном курсе

В большинстве случаев рассуждения с использованием трансфинитной индукции и ординалов можно заменить ссылкой на лемму Цорна; при этом рассуждение становится менее наглядным, но формально более простым. Тем не менее бывают ситуации, когда этого сделать не удается (по крайней мере, неясно, как бы это следовало делать), и приходится пользоваться вполне упорядоченными множествами в явном виде. В этом разделе мы приведем два подобных примера.

Первый из них касается борелевских множеств. (Для простоты мы рассматриваем подмножества действительной прямой.) Семейство подмножеств действительной прямой называется \sigma - алгеброй, если оно замкнуто относительно конечных и счетных пересечений и объединений, а также относительно перехода к дополнению. (Это означает, что вместе с каждым множеством A это семейство содержит его дополнение \bbR\setminus A, и вместе с любыми множествами A_0, A_1, \dots семейство содержит их объединение A_0\hm\cup
A_1\hm\cup\ldots и пересечение A_0\hm\cap
A_1\hm\cap\ldots ) Пример: семейство P(\bbR) всех подмножеств прямой, очевидно, является \sigma - алгеброй.

Теорема 43.Существует минимальная \sigma - алгебра, содержащая все отрезки [a,b] на прямой.

Доказательство. Формально можно рассуждать так: рассмотрим все возможные \sigma - алгебры, содержащие отрезки. Их пересечение будет \sigma - алгеброй, и тоже будет содержать все отрезки. (Вообще пересечение любого семейства \sigma - алгебр будет \sigma - алгеброй - это очевидное следствие определения.) Эта \sigma - алгебра и будет искомой.

Множества, входящие в эту минимальную \sigma - алгебру, называют борелевскими.

142. Докажите, что всякое открытое и всякое замкнутое подмножество прямой является борелевским. (Указание: открытое множество есть объединение содержащихся в нем отрезков с рациональными концами.)

143. Докажите, что прообраз любого борелевского множества при непрерывном отображении является борелевским множеством.

144. Пусть f_0, f_1, \dots - последовательность непрерывных функций с действительными аргументами и значениями. Докажите, что множество точек x, в которых последовательность f_0(x), f_1(x), \dots имеет предел, является борелевским.

Борелевские множества играют важную роль в дескриптивной теории множеств. Но мы хотим лишь продемонстрировать использование трансфинитной индукции (вряд ли легко заменяемой на использование леммы Цорна) на примере следующей теоремы:

Теорема 44 Семейство всех борелевских множеств имеет мощность континуума.

Доказательство. Класс борелевских множеств можно строить постепенно. Начнем с отрезков и дополнений к отрезкам. На следующем шаге рассмотрим всевозможные счетные пересечения и объединения уже построенных множеств (отрезков и дополнений к ним).

145. Докажите, что при этом получатся (среди прочего) все открытые и все замкнутые подмножества прямой.

Далее можно рассмотреть счетные объединения и пересечения уже построенных множеств и т.д.

Более формально, пусть \mathcal{B}_0 - семейство множеств, состоящее из всех отрезков и дополнений к ним. Определим \mathcal{B}_{i+1} по индукции как семейство множеств, являющихся счетными объединениями или пересечениями множеств из \mathcal{B}_i.

Все семейства \mathcal{B}_i состоят из борелевских множеств (поскольку счетное объединение или пересечение борелевских множеств является борелевским). Исчерпывают ли они все борелевские множества? Вообще говоря, нет: если мы возьмем по одному множеству из каждого класса \mathcal{B}_i для всех i=0,1,2,\dots и рассмотрим их счетное пересечение, то оно вполне может не принадлежать ни одному из классов. Поэтому мы рассмотрим класс \mathcal{B}_\omega, представляющий собой объединение всех \mathcal{B}_i по всем натуральным i, затем \mathcal{B}_{\omega+1}, \mathcal{B}_{\omega+2} и т.д. Объединение этой последовательности классов естественно назвать \mathcal{B}_{\omega2} и продолжить построение.

Дадим формальное определение \mathcal{B}_\alpha для любого ординала \alpha. Это делается с помощью трансфинитной рекурсии. Именно, при \alpha\hm=\beta\hm+1 элементами класса \mathcal{B}_{\alpha} будут счетные объединения и пересечения множеств из класса \mathcal{B}_\beta. Если \alpha - предельный ординал, отличный от 0, то класс \mathcal{B}_\alpha представляет собой объединение всех \mathcal{B}_\beta по всем \beta\hm<\alpha. (Класс \mathcal{B}_0 мы уже определили.)

Из определения следует, что \mathcal{B}_\alpha \hm\subset
\mathcal{B}_\beta при \alpha\hm<\beta, так что мы получаем возрастающую цепь классов. Каждый класс замкнут относительно перехода к дополнению (для начального класса мы об этом позаботились, далее по индукции). Все классы \mathcal{B}_{\alpha} содержатся в классе борелевских множеств, так как мы применяем лишь операции счетного объединения и пересечения, относительно которых класс борелевских множеств замкнут.

Возникает вопрос: как далеко нужно продолжать эту конструкцию? Оказывается, что достаточно дойти до первого несчетного ординала.

Пусть \aleph_1 - наименьший несчетный ординал. (Это - стандартное для него обозначение.) Другими словами, \aleph_1 есть семейство всех счетных ординалов, упорядоченных отношением < на ординалах.

< Лекция 13 || Лекция 14: 123
Игорь Васильев
Игорь Васильев
Россия, СПб