Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1627 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 8:

Фундированные и вполне упорядоченные множества

< Лекция 7 || Лекция 8: 12 || Лекция 9 >
Аннотация: Рассматриваются фундированные множества, вполне упорядоченные множества. Отмечаются несколько простых свойств начальных отрезков. Некоторые замечания по ходу объяснения материала заставляют читателя более внимательно относиться к материалу лекции и теории в целом. Доказывается несколько теорем с подробными объяснениями и математическими преобразованиями. Решается несколько интересных задач, связанных так или иначе с лекцией. Лекция достаточно интересная, в какой то мере сложная для обучения

Фундированные множества

Принцип математической индукции в одной из возможных форм звучит так:

Пусть A(n) - некоторое свойство натурального числа n. Пусть нам удалось доказать A(n) в предположении, что A(m) верно для всех m, меньших n. Тогда свойство A(n) верно для всех натуральных чисел n.

(Заметим, что по условию доказательство A(0) возможно без всяких предположений, поскольку меньших чисел нет.)

Для каких частично упорядоченных множеств верен аналогичный принцип? Ответ дается следующей простой теоремой:

Теорема 15. Следующие три свойства частично упорядоченного множества X равносильны:

(a) любое непустое подмножество X имеет минимальный элемент;

(б) не существует бесконечной строго убывающей последовательности x_0\hm>x_1\hm>x_2\hm>\dots элементов множества X ;

(в) для множества X верен принцип индукции в следующей форме: если (при каждом x\hm\in X ) из истинности A(y) для всех y\hm<x следует истинность A(x), то свойство A(x) верно при всех x. Формально это записывают так:

\forall x\, (\forall y \, ((y<x)\Rightarrow A(y))\Rightarrow A(x))
\Rightarrow
\forall x\, A(x).

Доказательство. Сначала докажем эквивалентность первых двух свойств. Если x_0\hm>x_1\hm>x_2>\dots - бесконечная убывающая последовательность, то, очевидно, множество ее значений не имеет минимального элемента (для каждого элемента следующий еще меньше). Поэтому из (а) следует (б). Напротив, если B - непустое множество, не имеющее минимального элемента, то бесконечную убывающую последовательность можно построить так. Возьмем произвольный элемент b_0\hm\in B. По предположению он не является минимальным, так что можно найти b_1\hm\in B, для которого b_0\hm>b_1. По тем же причинам можно найти b_2\hm\in B, для которого b_1\hm>b_2 и т.д. Получается бесконечная убывающая последовательность.

Теперь выведем принцип индукции из существования минимального элемента в любом подмножестве. Пусть A(x) - произвольное свойство элементов множества X, верное не для всех элементов x. Рассмотрим непустое множество B тех элементов, для которых свойство A неверно. Пусть x - минимальный элемент множества B. По условию меньших элементов в множестве B нет, поэтому для всех y\hm<x свойство A(y) выполнено. Но тогда по предположению должно быть выполнено и A(x) - противоречие.

Осталось доказать существование минимального элемента в любом непустом подмножестве, исходя из принципа индукции. Пусть B - подмножество без минимальных элементов. Докажем по индукции, что B пусто; другими словами, в качестве A(x) возьмем свойство x\hm\notin B. В самом деле, если A(y) верно для всех y\hm<x, то никакой элемент, меньший x, не лежит в B. Если бы x лежал в B, то он был бы там минимальным, а таких нет.

Множества, обладающие свойствами (а)-(в), называются фундированными. Какие есть примеры фундированных множеств? Прежде всего, наш исходный пример - множество натуральных чисел.

Другой пример - множество \bbN\hm\times\bbN пар натуральных чисел (меньше та пара, у которой второй член меньше; в случае равенства сравниваем первые). В самом деле, проверим условие (б). Нам будет удобно сформулировать его так: всякая последовательность u_0\hm\ge u_1\hm\ge u_2 \ge\ldots элементов множества рано или поздно стабилизируется (все члены, начиная с некоторого, равны); очевидно, что это эквивалентная формулировка.

Пусть дана произвольная последовательность пар

\langle x_0, y_0 \rangle \ge
\langle x_1, y_1 \rangle \ge
\langle x_2, y_2 \rangle \ge \dots
По определению порядка (сначала сравниваются вторые члены) y_0\hm\ge y_1\hm\ge y_2\ge\ldots и потому последовательность натуральных чисел y_i с какого - то места не меняется. После этого уже x_i должны убывать - и тоже стабилизируются. Что и требовалось.

То же самое рассуждение пригодно и в более общей ситуации.

Теорема 16. Пусть A и B - два фундированных частично упорядоченных множества. Тогда их произведение A\hm\times B, в котором

\langle a_1, b_1 \rangle \le
\langle a_2, b_2 \rangle \Leftrightarrow
[(b_1 \hm< b_2) \text{ или } (b_1=b_2 \text{ и } a_1\le a_2)],
является фундированным.

Доказательство. В последовательности \langle a_0,b_0 \rangle \hm\ge
 \langle a_1,b_1 \rangle \ge\ldots стабилизируются сначала вторые, а затем и первые члены.

Отсюда вытекает аналогичное утверждение для \mathbb{N}\hm\times\mathbb{N}\times\mathbb{N}, для \mathbb{N}^k или вообще для произведения конечного числа фундированных множеств.

Еще проще доказать, что сумма A+B двух фундированных множеств A и B фундирована: последовательность x_0\le
x_1\le
x_2\le\dots либо целиком содержится в B (и мы ссылаемся на фундированность B ), либо содержит элемент из A. В последнем случае все следующие элементы также принадлежат A, и мы используем фундированность A.

Часто в программировании (или в олимпиадных задачах) нам нужно доказать, что некоторый процесс не может продолжаться бесконечно долго. Например, написав цикл, мы должны убедиться, что рано или поздно из него выйдем. Это можно сделать так: ввести какой - то натуральный параметр и убедиться, что на каждом шаге цикла этот параметр уменьшается. Тогда, если сейчас этот параметр равен N, то можно гарантировать, что не позже чем через N шагов цикл закончится.

Однако бывают ситуации, в которых число шагов заранее оценить нельзя, но тем не менее гарантировать завершение цикла можно, поскольку есть параметр, принимающий значения в фундированном множестве и убывающий на каждом шаге цикла.

Вот пример олимпиадной задачи, где по существу такое рассуждение и используется.

Задача. Бизнесмен заключил с чертом сделку: каждый день он дает черту одну монету, и в обмен получает любой набор монет по своему выбору, но все эти монеты меньшего достоинства (видов монет конечное число). Менять (или получать) деньги в другом месте бизнесмен не может. Когда монет больше не останется, бизнесмен проигрывает. Докажите, что рано или поздно черт выиграет, каков бы ни был начальный набор монет у бизнесмена.

Решение: пусть имеется k видов монет. Искомый параметр определим так: посчитаем, сколько монет каждого вида есть у бизнесмена ( n_1 - число монет минимального достоинства, n_2 - число следующих, и так далее до n_k ). Заметим, что в результате встречи с чертом набор \langle n_1,\dots,n_k\rangle уменьшается (в смысле введенного нами порядка, когда мы сравниваем сначала последние члены, затем предпоследние \итд). Поскольку множество \bbN^k фундировано, этот процесс должен оборваться.

108. Имеется конечная последовательность нулей и единиц. За один шаг разрешается сделать такое действие: найти в ней группу 01 и заменить на 100{\dots}00 (при этом можно написать сколько угодно нулей). Докажите, что такие шаги нельзя выполнять бесконечно много раз.

109. Рассмотрим множество всех слов русского алфавита (точнее, всех конечных последовательностей русских букв, независимо от смысла) с лексикографическим порядком. Будет ли это множество фундировано?

110. Рассмотрим множество невозрастающих последовательностей натуральных чисел, в которых все члены, начиная с некоторого, равны нулю. Введем в нем порядок так: сначала сравниваем первые члены, при равенстве первых вторые и т.д. Докажите, что это (линейно) упорядоченное множество фундировано.

111. Рассмотрим множество всех многочленов от одной переменной x, коэффициенты которых - натуральные числа. Упорядочим его так: многочлен P больше многочлена Q, если P(x)\hm>Q(x) для всех достаточно больших x. Покажите, что это определение задает линейный порядок и что получающееся упорядоченное множество фундировано.

< Лекция 7 || Лекция 8: 12 || Лекция 9 >
Игорь Васильев
Игорь Васильев
Россия, СПб