Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1627 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Функции

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Аннотация: Определяются такие понятия, как декартово произведение множеств A и B, отношение между ними, бинарное отношение на множестве A. Определяются понятия функции из A в B, область определения функции. Вводятся понятия композиции двух функций, инъекции, биекции. Большое количество самостоятельных заданий. Много определений и полных объяснений различных математических расчетов

До сих пор мы старались ограничиваться минимумом формальностей и говорили о функциях, их аргументах, значениях, композиции и т.п. без попыток дать определения этих понятий. Сейчас мы дадим формальные определения.

Пусть A и B - два множества. Рассмотрим множество всех упорядоченных пар \langle a,b\rangle, где a\hm\in A и b\hm\in B. Это множество называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается A\hm\times B. (К вопросу о том, что такое упорядоченная пара, мы еще вернемся)

Любое подмножество R множества A\hm\times B называется отношением между множествами A и B. Если A\hm=B, говорят о бинарном отношении на множестве A. Например, на множестве натуральных чисел можно рассмотреть бинарное отношение " быть делителем", обычно обозначаемое символом |. Тогда можно в принципе было бы написать \langle
2, 6\rangle\hm\in | и \langle 2, 7\rangle\hm\notin |. Обычно, однако, знак отношения пишут между объектами (например, 2|6 ).

59.Вопрос для самоконтроля: отношения " быть делителем" и " делиться на" - это одно и то же отношение или разные? (Ответ: конечно, разные - в упорядоченной паре порядок существен.)

Если аргументами функции являются элементы множества A, а значениями - элементы множества B, то можно рассмотреть отношение между A и B, состоящее из пар вида \langle
x,f(x)\rangle. По аналогии с графиками функций на плоскости такое множество можно назвать графиком функции f. С формальной точки зрения, однако, удобнее не вводить отдельного неопределяемого понятия функции, а вместо этого отождествить функцию с ее графиком.

Отношение F\hm\subset A\hm\times B называется функцией из A в B , если оно не содержит пар с одинаковым первым членом и разными вторыми. Другими словами, это означает, что для каждого a\in A существует не более одного b\in
B, при котором \langle a,b\rangle\hm\in F.

Те элементы a\in A, для которых такое b существует, образуют область определения функции F. Она обозначается \Dom F (от английского слова domain). Для любого элемента a\hm\in
\Dom F можно определить значение функции F на аргументе a (" в точке a ", как иногда говорят) как тот единственный элемент b\hm\in B, для которого \langle
a,b\rangle\hm\in F. Этот элемент записывают как F(a). Все такие элементы b образуют множество значений \Val F.

Если a\notin\Dom F, то говорят, что функция не определена на a. Заметим, что по нашему определению функция из A в B не обязана быть определена на всех элементах множества A - ее область определения может быть любым подмножеством множества A. Симметричным образом множество ее значений может не совпадать с множеством B.

Если область определения функции f из A в B совпадает с A, то пишут f\colon A\hm\to B.

Пример: тождественная функция \id_A\colon A\hm\to
A переводит множество A в себя, причем \id(a)\hm=a для любого a\hm\in
A. Она представляет собой множество пар вида \langle
a,a\rangle для всех a\in A. (Индекс A в \id_A иногда опускают, если ясно, о каком множестве идет речь.)

Композицией двух функций f\colon A \hm\to B и g\colon B\hm\to C называют функцию h\colon A\hm\to C, определенную соотношением h(x)\hm=g(f(x)). Другими словами, h представляет собой множество пар \{\langle a,c\rangle \mid \langle a,b\rangle \in f \text{ и }
   \langle b,c\rangle \in g \text{ для некоторого b \in B\}. Композиция функций обозначается g\hm\circ f (мы, как и в большинстве книг, пишем справа функцию, которая применяется первой).

Очевидно, композиция (как операция над функциями) ассоциативна, то есть h\circ (f\circ g) \hm=
(h\circ f)\circ g, поэтому в композиции нескольких подряд идущих функций можно опускать скобки.

Пусть f\colon A\hm\to B. Прообразом подмножества B'\hm\subset B называется множество всех элементов x\hm\in A, для которых f(x)\hm\in B'. Оно обозначается f^{-1}(B'):

f^{-1}(B')=\{ x \in A \mid f(x)\in B'\}.
Образом множества A'\hm\subset A называется множество всех значений функции f на всех элементах множества A'. Оно обозначается
$f(A')$: \begin{multiple}
f(A')& =\{f(a)\mid a\in A'\}=\\ &= \{ b\in B\mid\langle a,b\rangle \in f
                        \text{ для некоторого $a\in A'$}\}.
        \end{multiple}
Строго говоря, обозначение f(A') может привести к путанице (одни и те же круглые скобки употребляются и для значения функции, и для образа множества), но обычно ясно, что имеется в виду.

60. Какие из следующих равенств верны?

\begin{align*}
f(A' \cap A'') &= f(A') \cap f(A'');\\
f(A' \cup A'') &= f(A') \cup f(A'');\\
f(A' \setminus A'') &= f(A') \setminus f(A'');\\
f^{-1}(B' \cap B'') &= f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'');\\
f^{-1}(B' \cup B'') &= f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'');\\
f^{-1}(B' \setminus B'') &= f^{-1}(B') \setminus f^{-1}(B'');\\
f^{-1}(f(A'))&\subset A';\\
f^{-1}(f(A'))&\supset A';\\
f(f^{-1}(B') )&\subset B';\\
f(f^{-1}(B') )&\supset B';\\
(g\circ  f)(A)&=g(f(A));\\
(g\circ f)^{-1}(C')&= f^{-1}(g^{-1}(C'));
%(g\circ f)^{-1}(C')&= g^{-1}(f^{-1}(C')).
        \end{align*}

(Здесь f\colon A\hm\to B, g\colon B\hm\to C, A',A''\hm\subset A, B',B''\hm\subset B, C'\hm\subset C.)

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Игорь Васильев
Игорь Васильев
Россия, СПб