Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1677 / 168 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Функции

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >

Иногда вместо функций говорят об отображениях (резервируя термин " функция" для отображений с числовыми аргументами и значениями). Мы не будем строго придерживаться таких различий, употребляя слова " отображение" и " функция" как синонимы.

Функция f\colon A\hm\to B называется инъективной, или инъекцией, или вложением, если она переводит разные элементы в разные, то есть если f(a_1)\hm\neq f(a_2) при различных a_1 и a_2.

Функция f\colon A\hm\to B называется сюръективной, или сюръекцией, или наложением, если множество ее значений есть все B. (Иногда такие функции называют отображениями на B.)

Эти два определения более симметричны, чем может показаться на первый взгляд, как показывают такие задачи:

61. Докажите, что функция f\colon A\hm\to B является вложением тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную функцию g\colon B\hm\to A, то есть функцию g, для которой g\hm\circ f \hm= \id_A. Докажите, что функция f\colon A\hm\to B является наложением тогда и только тогда, когда она имеет правую обратную функцию g\colon B\hm\to A, для которой f\hm\circ g \hm=
\id_B.

62. Докажите, что функция f\colon A\hm\to B является вложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать слева: из равенства f\hm\circ g_1 \hm= f\hm\circ g_2 следует равенство g_1 \hm=
g_2 (для любых функций g_1, g_2, области значений которых содержатся в A ). Докажите, что функция f\colon A\hm\to B является наложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать справа: из равенства g_1 \hm\circ f \hm= g_2 \hm\circ f следует равенство g_1
\hm= g_2 (для любых функций g_1, g_2, область определения которых есть B ).

Отображение (функция) f\colon A\hm\to B, которое одновременно является инъекцией и сюръекцией (вложением и наложением), называется биекцией, или взаимно однозначным соответствием.

Если f - биекция, то существует обратная функция f^{-1}, для которой {f^{-1}(y)=x}\hm\Leftrightarrow{f(x)=y}.

63. Могут ли для некоторой функции левая и правая обратные существовать, но быть различны?

Напомним, что множества A и B равномощны, если существует биекция f\colon A\hm\to B. В каком случае существует инъекция (вложение) f\colon A\hm\to B? Легко понять, что вложение является взаимно однозначным соответствием между A и некоторым подмножеством множества B, поэтому такое вложение существует тогда и только тогда, когда в B есть подмножество, равномощное A, - когда мощность A не превосходит мощности B (в смысле определения, данного в "лекцию 3" ).

Чуть менее очевиден другой результат: наложение A на B существует тогда и только тогда, когда мощность B не превосходит мощности A.

В самом деле, пусть наложение f\colon A\hm\to B существует. Для каждого элемента b\hm\in B найдется хотя бы один элемент a\hm\in A, для которого f(a)\hm=b. Выбрав по одному такому элементу, мы получим подмножество A'\hm\subset A, которое находится во взаимно однозначном соответствии с множеством B. (Здесь снова используется аксиома выбора, о которой мы говорили ранее)

В обратную сторону: если какое- то подмножество A' множества A равномощно множеству B и имеется биекция g\colon A'\hm\to
B, то наложение A на B можно получить, доопределив эту биекцию на элементах вне A' каким угодно образом.

64. Найдите ошибку в этом рассуждении, не читая дальше.

На самом деле такое продолжение возможно, только если B непусто, так что правильное утверждение звучит так: наложение A на B существует тогда и только тогда, когда B непусто и равномощно некоторому подмножеству A, или когда оба множества пусты.

В нашем изложении остается еще один не вполне понятный момент: что такое " упорядоченная пара "? Неформально говоря, это способ из двух объектов x и y образовать один объект \langle x,y\rangle, причем этот способ обладает таким свойством:

\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle
        \
\Leftrightarrow
        \
\text{$x_1=x_2$ и $y_1=y_2$}
В принципе, можно так и считать понятие упорядоченной пары неопределяемым, а это свойство - аксиомой. Однако при формальном построении теории множеств удобно использовать трюк, придуманный польским математиком Куратовским, и избежать появления отдельного понятия упорядоченной пары. (Напомним, что \{x\} обозначает множество, единственным элементом которого является x, а \{x,y\} обозначает множество, которое содержит x и y и не содержит других элементов. Тем самым {\{x,y\}} \hm= {\{x\}} \hm= {\{y\}}, если x\hm=y.)

Теорема 9. Упорядоченная пара по Куратовскому. Определим \langle x,y\rangle как {\{\{x\},\{x,y\}\}}. Тогда выполнено указанное выше свойство:

\langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle
        \
\Leftrightarrow
        \
\text{$x_1=x_2$ и $y_1=y_2$}.

Доказательство. Пусть \langle x_1,y_1\rangle = \langle x_2,y_2\rangle. По определению это означает, что

{\{\{x_1\},\{x_1,y_1\}\}}=
{\{\{x_2\},\{x_2,y_2\}\}}
. Теперь нужно аккуратно разобрать случаи (не путая при этом x с \{x\} ). Это удобно делать в следующем порядке. Пусть сначала x_1\hm\neq y_1. Тогда множество {\{x_1,y_1\}} состоит из двух элементов. Раз оно принадлежит левой части равенства, то принадлежит и правой. Значит, оно равно либо \{x_2\}, либо {\{x_2,y_2\}}. Первое невозможно, так как двухэлементное множество не может быть равно одноэлементному. Значит, {\{x_1,y_1\}}\hm= {\{x_2,y_2\}}. С другой стороны, одноэлементное множество \{x_1\} принадлежит левой части равенства, поэтому оно принадлежит и правой, и потому равно \{x_2\} (поскольку не может быть равно двухэлементному). Отсюда x_1\hm=x_2 и y_1\hm=y_2, что и требовалось.

Аналогично можно разобрать симметричный случай, когда x_2\hm\neq y_2.

Осталось рассмотреть ситуацию, когда x_1\hm=y_1 и x_2\hm=y_2. В этом случае {\{x_1,y_1\}}\hm=\{x_1\} и потому левая часть данного нам равенства есть \{\{x_1\}\}. Аналогичным образом, правая его часть есть \{\{x_2\}\}, и потому x_1=x_2, так что все четыре элемента x_1, x_2, y_1, y_2 совпадают.

Заметим, что возможны и другие определения упорядоченной пары, для которых аналогичное утверждение верно, так что никакого " философского смысла" в этом определении нет - это просто удобный технический прием.

65. Докажите утверждение теоремы 9 для упорядоченной пары по Винеру: \langle x,y\rangle\hm=
\{\{\varnothing,\{x\}\},\{\{y\}\}\}.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >