Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1627 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Теорема Кантора - Бернштейна

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Аннотация: Краткая историческая справка по данной теореме, называемой также теоремой Шредера- Бернштейна. Данная теорема определяет условие, при котором множества A и B – равномощны. Подробное исследование текущего вопроса с полным доказательством, различными рисунками для более наглядного представления. Исходя из теоремы Кантора – Бернштейна рассматривается вопрос о сравнении мощностей. Небольшое количество задач

Определение равномощности уточняет интуитивную идею о множествах " одинакового размера". А как формально определить, когда одно множество " больше" другого?

Говорят, что множество A по мощности не больше множества B, если оно равномощно некоторому подмножеству множества B (возможно, самому B ).

44. Некто предложил такое определение: множество A имеет строго меньшую мощность, чем множество B, если оно равномощно некоторой части множества B, не совпадающей со всем B. Почему это определение неудачно? (Указание. Популярные рассказы о теории множеств часто начинаются с такого парадокса, восходящего к Галилею. Каких чисел больше - всех натуральных чисел или точных квадратов? С одной стороны, точные квадраты составляют лишь небольшую часть натуральных чисел; с другой стороны их можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми натуральными числами.)

Отношение " иметь не большую мощность" обладает многими естественными свойствами:

  • Если A и B равномощны, то A имеет не большую мощность, чем B. (Очевидно.)
  • Если A имеет не большую мощность, чем B, а B имеет не большую мощность, чем C, то A имеет не большую мощность, чем C. (Тоже несложно. Пусть A находится во взаимно однозначном соответствии с B'\hm\subset B, а B находится во взаимно однозначном соответствии с C'\hm\subset C. Тогда при втором соответствии B' соответствует некоторому множеству C''\hm\subset
C'\hm\subset C, как показано на рис.3.1, и потому A равномощно C''.)
    Транзитивность сравнения мощностей

    Рис. 3.1. Транзитивность сравнения мощностей
  • Если A имеет не большую мощность, чем B, а B имеет не большую мощность, чем A, то они равномощны. (Это вовсе не очевидное утверждение составляет содержание теоремы Кантора - Бернштейна, которую мы сейчас докажем.)
  • Для любых двух множеств A и B верно (хотя бы) одно из двух: либо A имеет не большую мощность, чем B, либо B имеет не большую мощность, чем A. (Доказательство этого факта требует так называемой " трансфинитной индукции" см. "Теорема Цермело" , теорема 25.)

Теорема 5. (Кантора-Бернштейна) Если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, а B равномощно некоторому подмножеству множества A, то множества A и B равномощны.

Доказательство

Пусть A равномощно подмножеству B_1 множества B, а B равномощно подмножеству A_1 множества A (см. рис. 3.2).


Рис. 3.2.

При взаимно однозначном соответствии между B и A_1 подмножество B_1\hm\subset B переходит в некоторое подмножество A_2\hm\subset A_1. При этом все три множества A, B_1 и A_2 равномощны, - и нужно доказать, что они равномощны множеству B, или, что то же самое, A_1.

Теперь мы можем забыть про множество B и его подмножества и доказывать такой факт:

если A_2 \hm\subset A_1\hm\subset A_0 и A_2 равномощно A_0, то все три множества равномощны.

(Для единообразия мы говорим A_0 вместо A.)

Пусть f - функция, осуществляющая взаимно однозначное соответствие A_0\hm\to A_2 (элемент x\hm\in A_0 соответствует элементу f(x)\hm\in A_2 ). Когда A_0 переходит в A_2, меньшее множество A_1 переходит в какое-то множество A_3\hm\subset A_2 (см. рис. 3.3). Аналогичным образом само A_2 переходит в некоторое множество A_4\hm\subset A_2. При этом A_4\hm\subset
A_3, так как A_1\hm\subset A_2.


Рис. 3.3.
< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Игорь Васильев
Игорь Васильев
Россия, СПб