Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1627 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы

< Лекция 6 || Лекция 7: 1234 || Лекция 8 >
Аннотация: Описывается много новых понятий, таких как отношение эквивалентности, отношение частичного порядка, изоморфные частичные множества. Доказываются несколько теорем по данной теме с подробными объяснениями, графиками и примерами. Задается большое количество примеров частичных порядков. Описываются несколько конструкций, позволяющих строить одни упорядоченные множества из других. Для лекции характерно множество задач для самостоятельного решения

Отношения эквивалентности и порядка

Напомним, что бинарным отношением на множестве X называется подмножество R\hm\subset X\hm\times X ; вместо \langle
x_1,x_2\rangle \hm\in R часто пишут x_1 R x_2.

Бинарное отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности, если выполнены следующие свойства:

  • (рефлексивность) xRx для всех x\hm\in X ;
  • (симметричность) xRy \hm\Rightarrow yRx для всех x,y\hm\in X ;
  • (транзитивность) xRy \text{ и } yRz
\hm\Rightarrow
        xRz для любых элементов x,y,z\hm \in X.

Имеет место следующее очевидное, но часто используемое утверждение:

Теорема 11. (а) Если множество X разбито в объединение непересекающихся подмножеств, то отношение " лежать в одном подмножестве" является отношением эквивалентности.

(б) Всякое отношение эквивалентности получается описанным способом из некоторого разбиения.

Доказательство. Первое утверждение совсем очевидно; мы приведем доказательство второго, чтобы было видно, где используются все пункты определения эквивалентности. Итак, пусть R - отношение эквивалентности. Для каждого элемента x\hm\in X рассмотрим его класс эквивалентности - множество всех y\in X, для которых верно xRy.

Докажем, что для двух различных x_1, x_2 такие множества либо не пересекаются, либо совпадают. Пусть они пересекаются, то есть имеют общий элемент z. Тогда x_1 R z и x_2 R
z, откуда z R x_2 (симметричность) и x_1 R x_2 (транзитивность), а также x_2 R x_1 (симметричность). Поэтому для любого z из x_1 R z следует x_2 R z (транзитивность) и наоборот.

Осталось заметить, что в силу рефлексивности каждый элемент x принадлежит задаваемому им классу, то есть действительно все множество X разбито на непересекающиеся классы.

78. Покажите, что требования симметричности и транзитивности можно заменить одним: \text{xRz и yRz} \Rightarrow xRy (при сохранении требования рефлексивности).

79. Сколько различных отношений эквивалентности существует на множестве \{1,2,3,4,5\}?

80. На множестве M задано два отношения эквивалентности, обозначаемые \sim_1 и \sim_2, имеющие n_1 и n_2 классов эквивалентности соответственно. Будет ли их пересечение x\sim y \hm\Leftrightarrow [(x\sim_1 y)\text{ и }(x\sim_2 y)] отношением эквивалентности? Сколько у него может быть классов? Что можно сказать про объединение отношений?

81. (Теорема Рамсея) Множество всех k - элементных подмножеств бесконечного множества A разбито на l классов ( k, l - натуральные числа). Докажите, что найдется бесконечное множество B\hm\subset A, все k - элементные подмножества которого принадлежат одному классу.

(При k\hm=1 это очевидно: если бесконечное множество разбито на конечное число классов, то один из классов бесконечен. При k=2 и l=2 утверждение можно сформулировать так: из бесконечного множества людей можно выбрать либо бесконечно много попарно знакомых, либо бесконечно много попарно незнакомых. Конечный вариант этого утверждения - о том, что среди любых шести людей есть либо три попарно знакомых, либо три попарно незнакомых, - известная задача для школьников.)

Множество классов эквивалентности называют фактор - множеством множества X по отношению эквивалентности R. (Если отношение согласовано с дополнительными структурами на X, получаются фактор - группы, фактор - кольца и т.д)

Отношения эквивалентности нам не раз еще встретятся, но сейчас наша основная тема - отношения порядка.

Бинарное отношение \le на множестве X называется отношением частичного порядка, если выполнены такие свойства:

  • (рефлексивность) x\le x для всех x\hm\in X ;
  • (антисимметричность) x\le y \text{ и } y\le x \hm\Rightarrow x\hm=y для всех x,y\hm\in X ;
  • (транзитивность) x\le y\text{ и }y\le z \hm\Rightarrow
        x\hm\le z для всех x,y,z\hm \in X.

(Следуя традиции, мы используем символ \le (а не букву) как знак отношения порядка.) Множество с заданным на нем отношением частичного порядка называют частично упорядоченным.

Говорят, что два элемента x,y частично упорядоченного множества сравнимы, если x\le y или y\le x. Заметим, что определение частичного порядка не требует, чтобы любые два элемента множества были сравнимы. Добавив это требование, мы получим определение линейного порядка ( линейно упорядоченного множества ).

Приведем несколько примеров частичных порядков:

  • Числовые множества с обычным отношением порядка (здесь порядок будет линейным).
  • На множестве \mathbb{R}\hm\times\mathbb{R} всех пар действительных чисел можно ввести частичный порядок, считая, что \langle
x_1,x_2\rangle \hm\le \langle y_1,y_2\rangle, если x_1\hm\le
x_2 и y_1\hm\le y_2. Этот порядок уже не будет линейным: пары \langle 0,1\rangle и \langle 1,0\rangle не сравнимы.
  • На множестве функций с действительными аргументами и значениями можно ввести частичный порядок, считая, что f\hm\le g, если f(x)\hm\le g(x) при всех x\in\bbR. Этот порядок не будет линейным.
  • На множестве целых положительных чисел можно определить порядок, считая, что x\hm\le y, если x делит y. Этот порядок тоже не будет линейным.
  • Отношение " любой простой делитель числа x является также и делителем числа y " не будет отношением порядка на множестве целых положительных чисел (оно рефлексивно и транзитивно, но не антисимметрично).
  • Пусть U - произвольное множество. Тогда на множестве P(U) всех подмножеств множества U отношение включения \subset будет частичным порядком.
  • На буквах русского алфавита традиция определяет некоторый порядок ( \text{а}\hm\le\text{б}\hm\le\text{в}\hm\le\ldots\hm\le\text{я} ). Этот порядок линеен - про любые две буквы можно сказать, какая из них раньше (при необходимости заглянув в словарь).
  • На словах русского алфавита определен лексикографический порядок (как в словаре). Формально определить его можно так: если слово x является началом слова y, то x\hm\le y (например, \text{кант}\hm\le\text{кантор} ). Если ни одно из слов не является началом другого, посмотрим на первую по порядку букву, в которой слова отличаются: то слово, где эта буква меньше в алфавитном порядке, и будет меньше. Этот порядок также линеен (иначе что бы делали составители словарей?).
  • Отношение равенства ( (x\hm\le y)\hm\Leftrightarrow (x\hm=y) ) также является отношением частичного порядка, для которого никакие два различных элемента не сравнимы.
  • Приведем теперь бытовой пример. Пусть есть множество X картонных коробок. Введем на нем порядок, считая, что x\hm\le
y, если коробка x целиком помещается внутрь коробки y (или если x и y - одна и та же коробка). В зависимости от набора коробок этот порядок может быть или не быть линейным.

Пусть x,y - элементы частично упорядоченного множества X. Говорят, что x<y, если x\le
y и x\ne y. Для этого отношения выполнены такие свойства:

\begin{gather*}
 x \not< x;\\
(x< y) \text{ и } (y < z)\ \Rightarrow\ x < z.
        \end{gather*}
(Первое очевидно, проверим второе: если x\hm<y и y\hm<z, то есть x\hm\le y, x\hm\ne y, y\hm\le z, y\hm\ne z, то x\hm\le z по транзитивности; если бы оказалось, что x\hm=z, то мы бы имели x\hm\le y\hm\le x и потому x\hm=y по антисимметричности, что противоречит предположению.)

Терминологическое замечание: мы читаем знак \le как " меньше или равно", а знак < - как " меньше", неявно предполагая, что x\hm\le y тогда и только тогда, когда x\hm<y или x\hm=y. К счастью, это действительно так. Еще одно замечание: выражение x\hm>y (" x больше y ") означает, что y\hm<x, а выражение x\ge y (" x больше или равно y ") означает, что y\hm\le x.

< Лекция 6 || Лекция 7: 1234 || Лекция 8 >
Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003