Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1675 / 167 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы

< Лекция 6 || Лекция 7: 1234 || Лекция 8 >

82. Объясните, почему не стоит читать x\hm\le y как " x не больше y ".

В некоторых книжках отношение частичного порядка определяется как отношение <, удовлетворяющее двум указанным свойствам. В этом случае отношение x\hm\le y \hm\Leftrightarrow [(x\hm<y)
\text{ или } (x\hm=y)] является отношением частичного порядка в смысле нашего определения.

83.Проверьте это.

Во избежание путаницы отношение < иногда называют отношением строгого порядка, а отношение \le - отношением нестрогого порядка. Одно и то же частично упорядоченное множество можно задавать по - разному: можно сначала определить отношение нестрогого порядка \le (рефлексивное, антисимметричное и транзитивное) и затем из него получить отношение строгого порядка <, а можно действовать и наоборот.

84. Опуская требование антисимметричности в определении частичного порядка, получаем определение предпорядка. Докажите, что любой предпорядок устроен так: множество делится на непересекающиеся классы, при этом x\hm\le y для любых двух элементов x, y из одного класса, а на фактор - множестве задан частичный порядок, который и определяет результат сравнения двух элементов из разных классов.

Вот несколько конструкций, позволяющих строить одни упорядоченные множества из других.

  • Пусть Y - подмножество частично упорядоченного множества (X,\le). Тогда на множестве Y возникает естественный частичный порядок, индуцированный из X. Формально говоря,
    (\le _Y) = (\le) \cap (Y\times Y).
    Если порядок на X был линейным, то и индуцированный порядок на Y, очевидно, будет линейным.
  • Пусть X и Y - два непересекающихся частично упорядоченных множества. Тогда на их объединении можно определить частичный порядок так: внутри каждого множества элементы сравниваются как раньше, а любой элемент множества X по определению меньше любого элемента Y. Это множество естественно обозначить X+Y. (Порядок будет линейным, если он был таковым на каждом из множеств.)

    Это же обозначение применяют и для пересекающихся (и даже совпадающих множеств). Например, говоря об упорядоченном множестве \mathbb{N}+\mathbb{N}, мы берем две непересекающиеся копии натурального ряда \{0,1,2,\dots\} и \{\overline 0,\overline 1,\overline 2,\dots\} и рассматриваем множество \{0,1,2,\dots,\overline 0, \overline1, \overline2,\dots\}, причем k\le \overline l при всех k и l, а внутри каждой копии порядок обычный.

  • Пусть (X, \le_{X}) и (Y,\le_Y) - два упорядоченных множества. Можно определить порядок на произведении X\hm\times Y несколькими способами. Можно считать, что \langle x_1,y_1\rangle \hm\le
\langle x_2,y_2\rangle, если x_1 \le_X x_2 и y_1\le_Y y_2 (покоординатное сравнение). Этот порядок, однако, не будет линейным, даже если исходные порядки и были линейными: если первая координата больше у одной пары, а вторая у другой, как их сравнить? Чтобы получить линейный порядок, договоримся, какая координата будет " главной" и будем сначала сравнивать по ней, а потом (в случае равенства) - по другой. Если главной считать X - координату, то \langle
x_1,y_1\rangle \hm\le\langle x_2,y_2\rangle, если x_1 <_X
x_2 или если x_1=x_2, а y_1 \le_Y y_2. Однако по техническим причинам удобно считать главной вторую координату. Говоря о произведении двух линейно упорядоченных множеств как о линейно упорядоченном множестве, мы в дальнейшем подразумеваем именно такой порядок (сначала сравниваем по второй координате).

85. Докажите, что в частично упорядоченном множестве \mathbb{N}\hm\times\mathbb{N} (порядок покоординатный) нет бесконечного подмножества, любые два элемента которого были бы несравнимы. Верно ли аналогичное утверждение для \mathbb{Z}\hm\times\mathbb{Z}?

86. Докажите аналогичное утверждение для \mathbb{N}^k (порядок покоординатный).

87. Пусть U - конечное множество из n элементов. Рассмотрим множество P(U) всех подмножеств множества U, упорядоченное по включению. Какова максимально возможная мощность множества S\subset P(U), если индуцированный на S порядок линеен? если никакие два элемента S не сравнимы? (Указание: см. задачу 14.)

88. Сколько существует различных линейных порядков на множестве из n элементов?

89. Докажите, что всякий частичный порядок на конечном множестве можно продолжить до линейного (" продолжить" означает, что если x\hm\le y в исходном порядке, то и в новом это останется так).

90. Дано бесконечное частично упорядоченное множество X. Докажите, что в нем всегда найдется либо бесконечное подмножество попарно несравнимых элементов, либо бесконечное подмножество, на котором индуцированный порядок линеен.

91. (Конечный вариант предыдущей задачи.) Даны целые положительные числа m и n. Докажите, что во всяком частично упорядоченном множестве мощности mn+1 можно указать либо m+1 попарно несравнимых элементов, либо n+1 попарно сравнимых.

92. В строчку написаны mn+1 различных чисел. Докажите, что можно часть из них вычеркнуть так, чтобы осталась либо возрастающая последовательность длины m+1, либо убывающая последовательность длины n+1. (Указание: можно воспользоваться предыдущей задачей.)

93. Рассмотрим семейство всех подмножеств натурального ряда, упорядоченное по включению. Существует ли у него линейно упорядоченное (в индуцированном порядке) подсемейство мощности континуум? Существует ли у него подсемейство мощности континуум, любые два элемента которого несравнимы?

Элемент частично упорядоченного множества называют наибольшим, если он больше любого другого элемента, и максимальным, если не существует большего элемента. Если множество не является линейно упорядоченным, то это не одно и то же: наибольший элемент автоматически является максимальным, но не наоборот. (Одно дело коробка, в которую помещается любая другая, другое - коробка, которая никуда больше не помещается.)

Аналогичным образом определяются наименьшие и минимальные элементы.

Легко понять, что наибольший элемент в данном частично упорядоченном множестве может быть только один, в то время как максимальных элементов может быть много.

94. Докажите, что любые два максимальных элемента не сравнимы. Докажите, что в конечном частично упорядоченном множестве X для любого элемента x найдется максимальный элемент y, больший или равный x.

< Лекция 6 || Лекция 7: 1234 || Лекция 8 >