Введение в теорию множеств
[+]
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1687 / 169 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Тема: Алгоритмы и дискретные структуры
Специальности: Программист, Математик
Теги: beta, алгебра, антисимметричность, бесконечная последовательность, геометрия, график функции, графика, инъекция, отношение частичного порядка, полный порядок, порядковый тип, рекурсивное определение, теория, частичная упорядоченность, частичный порядок, элементы
Лекция 3:

Теорема Кантора - Бернштейна
A
|
версия для печати
< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Продолжая эту конструкцию, мы получаем убывающую последовательность множеств

A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset A_4 \supset\ldots
и взаимно однозначное соответствие f\colon A_0\hm\to A_2, при котором A_i соответствует A_{i+2} (иногда это записывают так: f(A_i)\hm=A_{i+2} ). Формально можно описать A_{2n} как множество тех элементов, которые получаются из какого-то элемента множества A_0 после n -кратного применения функции f. Аналогичным образом A_{2n+1} состоит из тех и только тех элементов, которые получаются из какого-то элемента множества A_1 после n -кратного применения функции f.

Заметим, что пересечение всех множеств A_i вполне может быть непусто: оно состоит из тех элементов, у которых можно сколько угодно раз брать f - прообраз. Теперь можно сказать так: множество A_0 мы разбили на непересекающиеся слои C_i\hm=A_i\setminus A_{i+1} и на сердцевину C\hm=\bigcap_{i} A_i.

Слои C_0, C_2, C_4, \dots равномощны (функция f осуществляет взаимно однозначное соответствие между C_0 и C_2, между C_2 и C_4 и т.д.):

C_0 \stackrel{f}\longrightarrow C_2 \stackrel{f}\longrightarrow C_4 \stackrel{f}\longrightarrow \ldots
То же самое можно сказать про слои с нечетными номерами:
C_1 \stackrel{f}\longrightarrow C_3 \stackrel{f}\longrightarrow C_5 \stackrel{f}\longrightarrow \ldots
Можно еще отметить (что, впрочем, не понадобится), что функция f на множестве C осуществляет его перестановку (взаимно однозначное соответствие с самим собой).

Теперь легко понять, как построить взаимно однозначное соответствие g между A_0 и A_1. Пусть x\hm\in A_0. Тогда соответствующий ему элемент g(x) строится так: g(x)\hm=f(x) при x\hm\in C_{2k} и g(x)\hm=x при x\hm\in C_{2k+1} или x\hm\in C (см. рис. 3.4).


Рис. 3.4.

История этой теоремы (называемой также теоремой Шредера- Бернштейна) такова. Кантор формулирует ее без доказательства в 1883 году, обещая: " К этому я еще вернусь в одной более поздней работе и тогда выявлю своеобразный интерес этой общей теоремы". Однако этого обещания он не выполнил, и первые доказательства были даны Шредером (1896) и Бернштейном (1897). Как видно из работ и писем Кантора, он предполагал доказывать эту теорему одновременно с возможностью сравнить любые два множества (см. "Теорема Цермело" , теорема 25, но как именно - остается непонятным. (Работы Кантора по теории множеств и его письма переведены на русский язык ; все цитаты даются по этому изданию.)

Теорема Кантора-Бернштейна значительно упрощает доказательства равномощности: например, если мы хотим доказать, что бублик и шар в пространстве равномощны, то достаточно заметить, что из бублика можно вырезать маленький шар (гомотетичный большому), а из шара - маленький бублик.

45. Посмотрите на приведенные выше задачи, где требовалось доказать равномощность, и убедитесь, что во многих из них применение теоремы Кантора - Бернштейна сильно упрощает дело.

46. Докажите, что все геометрические фигуры, содержащие хотя бы кусочек прямой или кривой, равномощны.

47. Докажите, что если квадрат разбит на два множества, то хотя бы одно из них равномощно квадрату. (Указание. Если одна из частей содержит отрезок, то можно воспользоваться теоремой Кантора - Бернштейна. Если же, скажем, первая часть не содержит отрезков, то в каждом горизонтальном сечении квадрата есть точка второй части, и снова можно сослаться на теорему Кантора - Бернштейна.)

Дальше >>
< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0