НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 14: Приложения ординалов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1687 / 169 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00

Теги: beta, алгебра, антисимметричность, бесконечная последовательность, геометрия, график функции, графика, инъекция, отношение частичного порядка, полный порядок, порядковый тип, рекурсивное определение, теория, частичная упорядоченность, частичный порядок, элементы

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Лемма. Класс $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ замкнут относительно счетных объединений и пересечений и потому содержит все борелевские множества.

Доказательство леммы. Пусть имеется счетная последовательность множеств $B_0, B_1, \dots$ , принадлежащих $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ . Ординал $\aleph_1$ - предельный, и класс $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ является объединением меньших классов. Поэтому каждое из множеств B_i принадлежит какому- то классу $\mathcal{B}_{\alpha_i}$ , где $\alpha_i$ - некоторый ординал, меньший $\aleph_1$ , -е конечный или счетный ординал. Положим $\beta=\sup_i \alpha_i$ . Ординал $\beta$ есть точная верхняя грань счетного числа счетных ординалов и потому счетен. В самом деле, рассмотрим ординалы $\alpha_i$ как начальные отрезки в каком- то большем ординале (например, в $\aleph_1$ ); их точная верхняя грань будет объединением счетного числа счетных начальных отрезков и потому будет счетным ординалом.

Теперь первое утверждение леммы очевидно: все B_i лежат в $\mathcal{B}_\beta$ , а потому их объединение (или пересечение) лежит в $\mathcal{B}_{\beta+1}$ и тем более в $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ (поскольку $\beta\hm+1$ есть счетный ординал и меньше $\aleph_1$ ).

Таким образом, класс $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ является $\sigma$ - алгеброй, содержащей отрезки, и потому содержит все борелевские множества. Лемма доказана.

Как мы уже отмечали, все классы $\mathcal{B}_{\alpha}$ состоят из борелевских множеств, так что класс $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ совпадает с классом всех борелевских множеств.

Что можно сказать про мощность классов? Класс $\mathcal{B}_0$ имеет мощность континуума (отрезки задаются своими концами). Если класс $\mathcal{B}_\alpha$ имеет мощность континуума, то и следующий класс $\mathcal{B}_{\alpha+1}$ имеет мощность континуума (каждый его элемент задается счетной последовательностью элементов предшествующего класса, а $\mathfrak{c}^{\aleph_0}\hm=\mathfrak{c}$ ). Каждый предельный класс есть объединение предыдущих, и пока мы не выходим за пределы счетных ординалов, объединение это будет счетно, а $\mathfrak{c}\aleph_0\hm=\mathfrak{c}$ , так что мы не выходим за пределы континуума. Наконец, $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ есть объединение несчетного числа предыдущих классов (а именно, $\aleph_1$ классов), но так как $\aleph_1\hm\le\mathfrak{c}$ , то $\mathfrak{c}\aleph_1\hm=\mathfrak{c}$ .

Таким образом, класс $\mathcal{B}_{\aleph_1}$ , он же класс всех борелевских множеств, имеет мощность континуума.

Обычно построение борелевских множеств начинается немного иначе. Именно, на нижнем уровне рассматриваются два класса: открытые и замкнутые множества. На следующем уровне находятся классы $F_\sigma$ (счетные объединения замкнутых множеств) и $G_{\delta}$ (счетные пересечения открытых множеств). Еще на уровень выше лежат счетные пересечения множеств из $F_{\sigma}$ и счетные объединения множеств из $G_{\delta}$ , и т.д. Такой подход является более естественным с точки зрения топологии, поскольку отрезки на прямой ничем не замечательны. Можно проверить, что разница между таким подходом и нашим определением невелика.

146.Докажите, что пересечение двух $F_{\sigma}$ - множеств является $F_{\sigma}$ - множеством (и вообще классы $F_{\sigma}$ , $G_{\delta}$ , а также классы следующих уровней, замкнуты относительно конечных объединений и пересечений).

147. Докажите, что $F_{\sigma}$ - и $G_{\delta}$ - множества лежат в классе $\mathcal{B}_2$ в соответствии с нашей классификацией.

148. Докажите, что всякое множество класса $\mathcal{B}_2$ отличается от некоторого $F_{\sigma}$ - или $G_{\delta}$ - множества не более чем на счетное множество.

Докажите, что всякое множество класса $\mathcal{B}_3$ является счетным пересечением $F_{\sigma}$ - множеств или счетным объединением $G_{\delta}$ - множеств и что аналогичное утверждение верно для более высоких уровней нашей иерархии.

150.Докажите, что существует открытое множество на плоскости, среди вертикальных сечений которого встречаются все открытые подмножества прямой. Докажите, что существует $G_{\delta}$ - множество на плоскости, среди сечений которого встречаются все $G_{\delta}$ - подмножества прямой. Докажите аналогичные утверждения для следующих уровней.

Покажите, что существует $G_{\delta}$ - множество, не являющееся $F_{\sigma}$ - множеством. Покажите, что существует счетное объединение $G_{\delta}$ - множеств, не являющееся счетным пересечением $F_{\sigma}$ - множеств и т.д. (Указание: воспользуйтесь предыдущей задачей.)

Ординалы часто появляются при классификации элементов того или иного множества по " рангам". Например, можно классифицировать элементы фундированного множества.

Теорема 45. Пусть - фундированное множество. Тогда существует и единственна функция $\rk$ , определенная на и принимающая значения в классе ординалов, для которой

$\rk(x)=\min\{\alpha\mid\text{$\alpha>\rk(y)$ для любого $y<x$}\}$

(при любом $x\hm\in X$ ).

Доказательство. Определим множество $X_{\alpha}$ рекурсией по ординалу $\alpha$ : $X_{\alpha}$ состоит из всех элементов $x\hm\in X$ , для которых все меньшие их (в ) элементы принадлежат $X_{\beta}$ с меньшими индексами $\beta$ :

$x \in X_{\alpha} \ \Leftrightarrow \ (\forall y < x)\,(\exists \beta < \alpha)\, (y\in X_{\beta}).$

Заметим, что здесь (как и в формулировке теоремы) знак

используется в двух разных смыслах: как порядок на

и как порядок на ординалах.

Очевидно, что с ростом $\alpha$ множество $X_{\alpha}$ растет (точнее, не убывает). Докажем, что при достаточно большом $\alpha$ множество $X_{\alpha}$ покрывает все . Если это не так, то из $\beta \hm< \gamma$ следует $X_{\beta}\hm\subsetneq X_{\gamma}$ (произвольный минимальный элемент, не лежащий в $X_{\beta}$ , принадлежит $X_\gamma$ ). Поэтому отображение $\alpha\hm\mapsto X_{\alpha}$ будет инъекцией, что невозможно (возьмем ординал, по мощности больший P(X) ; предшествующих ему ординалов уже слишком много).

Теперь определим $\rk(x)$ как минимальное $\alpha$ , при котором $x\hm\in X_{\alpha}$ . Если $\rk(x)=\alpha$ и $y\hm<x$ , то $\rk(y)\hm<\alpha$ . (В самом деле, по определению $X_{\alpha}$ из $x\hm\in X_\alpha$ и $y\hm<x$ следует, что $y\hm\in X_{\beta}$ при некотором $\beta\hm<\alpha$ .) Наоборот, если для некоторого ординала $\gamma$ выполнено неравенство $\rk(y)\hm<\gamma$ при всех $y\hm<x$ , то $\rk(x)\hm\le\gamma$ . В самом деле, тогда любой элемент $y\hm<x$ принадлежит некоторому $X_{\beta}$ с $\beta\hm<\gamma$ (положим $\beta\hm=\rk(y)$ ) и потому $x\hm\in X_{\gamma}$ и $\rk(x)\hm\le\gamma$ .

Итак, построенная нами функция $\rk$ обладает требуемым свойством. Единственность доказать совсем легко: если есть две такие функции, рассмотрим минимальную точку в , на которой они различаются, и сразу же получим противоречие.

В частности, счетные ординалы можно использовать для классификации деревьев, в которых нет бесконечных путей. Мы будем рассматривать корневые деревья с конечным или счетным ветвлением (у каждой вершины конечное или счетное число сыновей), в которых нет бесконечной ветви (последовательности вершин, в которых каждая есть сын предыдущей).

Формально такое дерево можно определить как подмножество множества $\bbN^*$ конечных последовательностей натуральных чисел, замкнутое относительно взятия префикса (если последовательность принадлежит , то любой ее начальный отрезок принадлежит ). Элементы множества мы называем вершинами дерева; вершина есть сын вершины , если получается из приписыванием справа какого- то одного числа. Вершина является потомком вершины , если получается добавлением к одного или нескольких чисел.

Мы говорим, что в дереве нет бесконечной ветви, если не существует бесконечной последовательности натуральных чисел, все начала которой принадлежат . В этом случае отношение порядка

$y<x \ \Leftrightarrow \ \text{$y$ есть потомок $x$}$

фундировано и можно применить предыдущую теорему, определив ранги всех вершин дерева

. Ранг его корня (последовательности длины

) и будем называть рангом дерева.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию множеств

Приложения ординалов

Вопросы и ответы