Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1686 / 169 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 14:

Приложения ординалов

< Лекция 13 || Лекция 14: 123

Лемма. Класс \mathcal{B}_{\aleph_1} замкнут относительно счетных объединений и пересечений и потому содержит все борелевские множества.

Доказательство леммы. Пусть имеется счетная последовательность множеств B_0, B_1, \dots, принадлежащих \mathcal{B}_{\aleph_1}. Ординал \aleph_1 - предельный, и класс \mathcal{B}_{\aleph_1} является объединением меньших классов. Поэтому каждое из множеств B_i принадлежит какому- то классу \mathcal{B}_{\alpha_i}, где \alpha_i - некоторый ординал, меньший \aleph_1, -е конечный или счетный ординал. Положим \beta=\sup_i \alpha_i. Ординал \beta есть точная верхняя грань счетного числа счетных ординалов и потому счетен. В самом деле, рассмотрим ординалы \alpha_i как начальные отрезки в каком- то большем ординале (например, в \aleph_1 ); их точная верхняя грань будет объединением счетного числа счетных начальных отрезков и потому будет счетным ординалом.

Теперь первое утверждение леммы очевидно: все B_i лежат в \mathcal{B}_\beta, а потому их объединение (или пересечение) лежит в \mathcal{B}_{\beta+1} и тем более в \mathcal{B}_{\aleph_1} (поскольку \beta\hm+1 есть счетный ординал и меньше \aleph_1 ).

Таким образом, класс \mathcal{B}_{\aleph_1} является \sigma - алгеброй, содержащей отрезки, и потому содержит все борелевские множества. Лемма доказана.

Как мы уже отмечали, все классы \mathcal{B}_{\alpha} состоят из борелевских множеств, так что класс \mathcal{B}_{\aleph_1} совпадает с классом всех борелевских множеств.

Что можно сказать про мощность классов? Класс \mathcal{B}_0 имеет мощность континуума (отрезки задаются своими концами). Если класс \mathcal{B}_\alpha имеет мощность континуума, то и следующий класс \mathcal{B}_{\alpha+1} имеет мощность континуума (каждый его элемент задается счетной последовательностью элементов предшествующего класса, а \mathfrak{c}^{\aleph_0}\hm=\mathfrak{c} ). Каждый предельный класс есть объединение предыдущих, и пока мы не выходим за пределы счетных ординалов, объединение это будет счетно, а \mathfrak{c}\aleph_0\hm=\mathfrak{c}, так что мы не выходим за пределы континуума. Наконец, \mathcal{B}_{\aleph_1} есть объединение несчетного числа предыдущих классов (а именно, \aleph_1 классов), но так как \aleph_1\hm\le\mathfrak{c}, то \mathfrak{c}\aleph_1\hm=\mathfrak{c}.

Таким образом, класс \mathcal{B}_{\aleph_1}, он же класс всех борелевских множеств, имеет мощность континуума.

Обычно построение борелевских множеств начинается немного иначе. Именно, на нижнем уровне рассматриваются два класса: открытые и замкнутые множества. На следующем уровне находятся классы F_\sigma (счетные объединения замкнутых множеств) и G_{\delta} (счетные пересечения открытых множеств). Еще на уровень выше лежат счетные пересечения множеств из F_{\sigma} и счетные объединения множеств из G_{\delta}, и т.д. Такой подход является более естественным с точки зрения топологии, поскольку отрезки на прямой ничем не замечательны. Можно проверить, что разница между таким подходом и нашим определением невелика.

146.Докажите, что пересечение двух F_{\sigma} - множеств является F_{\sigma} - множеством (и вообще классы F_{\sigma}, G_{\delta}, а также классы следующих уровней, замкнуты относительно конечных объединений и пересечений).

147. Докажите, что F_{\sigma} - и G_{\delta} - множества лежат в классе \mathcal{B}_2 в соответствии с нашей классификацией.

148. Докажите, что всякое множество класса \mathcal{B}_2 отличается от некоторого F_{\sigma} - или G_{\delta} - множества не более чем на счетное множество.

Докажите, что всякое множество класса \mathcal{B}_3 является счетным пересечением F_{\sigma} - множеств или счетным объединением G_{\delta} - множеств и что аналогичное утверждение верно для более высоких уровней нашей иерархии.

150.Докажите, что существует открытое множество на плоскости, среди вертикальных сечений которого встречаются все открытые подмножества прямой. Докажите, что существует G_{\delta} - множество на плоскости, среди сечений которого встречаются все G_{\delta} - подмножества прямой. Докажите аналогичные утверждения для следующих уровней.

Покажите, что существует G_{\delta} - множество, не являющееся F_{\sigma} - множеством. Покажите, что существует счетное объединение G_{\delta} - множеств, не являющееся счетным пересечением F_{\sigma} - множеств и т.д. (Указание: воспользуйтесь предыдущей задачей.)

Ординалы часто появляются при классификации элементов того или иного множества по " рангам". Например, можно классифицировать элементы фундированного множества.

Теорема 45. Пусть X - фундированное множество. Тогда существует и единственна функция \rk, определенная на X и принимающая значения в классе ординалов, для которой

\rk(x)=\min\{\alpha\mid\text{$\alpha>\rk(y)$ для любого
$y<x$}\}
(при любом x\hm\in X ).

Доказательство. Определим множество X_{\alpha} рекурсией по ординалу \alpha: X_{\alpha} состоит из всех элементов x\hm\in X, для которых все меньшие их (в X ) элементы принадлежат X_{\beta} с меньшими индексами \beta:

x \in X_{\alpha}
     \ \Leftrightarrow \
(\forall y < x)\,(\exists \beta < \alpha)\, (y\in X_{\beta}).
Заметим, что здесь (как и в формулировке теоремы) знак < используется в двух разных смыслах: как порядок на X и как порядок на ординалах.

Очевидно, что с ростом \alpha множество X_{\alpha} растет (точнее, не убывает). Докажем, что при достаточно большом \alpha множество X_{\alpha} покрывает все X. Если это не так, то из \beta \hm< \gamma следует X_{\beta}\hm\subsetneq
X_{\gamma} (произвольный минимальный элемент, не лежащий в X_{\beta}, принадлежит X_\gamma ). Поэтому отображение \alpha\hm\mapsto
X_{\alpha} будет инъекцией, что невозможно (возьмем ординал, по мощности больший P(X) ; предшествующих ему ординалов уже слишком много).

Теперь определим \rk(x) как минимальное \alpha, при котором x\hm\in X_{\alpha}. Если \rk(x)=\alpha и y\hm<x, то \rk(y)\hm<\alpha. (В самом деле, по определению X_{\alpha} из x\hm\in X_\alpha и y\hm<x следует, что y\hm\in X_{\beta} при некотором \beta\hm<\alpha.) Наоборот, если для некоторого ординала \gamma выполнено неравенство \rk(y)\hm<\gamma при всех y\hm<x, то \rk(x)\hm\le\gamma. В самом деле, тогда любой элемент y\hm<x принадлежит некоторому X_{\beta} с \beta\hm<\gamma (положим \beta\hm=\rk(y) ) и потому x\hm\in X_{\gamma} и \rk(x)\hm\le\gamma.

Итак, построенная нами функция \rk обладает требуемым свойством. Единственность доказать совсем легко: если есть две такие функции, рассмотрим минимальную точку в X, на которой они различаются, и сразу же получим противоречие.

В частности, счетные ординалы можно использовать для классификации деревьев, в которых нет бесконечных путей. Мы будем рассматривать корневые деревья с конечным или счетным ветвлением (у каждой вершины конечное или счетное число сыновей), в которых нет бесконечной ветви (последовательности вершин, в которых каждая есть сын предыдущей).

Формально такое дерево можно определить как подмножество T множества \bbN^* конечных последовательностей натуральных чисел, замкнутое относительно взятия префикса (если последовательность принадлежит T, то любой ее начальный отрезок принадлежит T ). Элементы множества T мы называем вершинами дерева; вершина y есть сын вершины x, если y получается из x приписыванием справа какого- то одного числа. Вершина y является потомком вершины x, если y получается добавлением к x одного или нескольких чисел.

Мы говорим, что в дереве T нет бесконечной ветви, если не существует бесконечной последовательности натуральных чисел, все начала которой принадлежат T. В этом случае отношение порядка

y<x \ \Leftrightarrow \ \text{$y$ есть потомок $x$}
фундировано и можно применить предыдущую теорему, определив ранги всех вершин дерева T. Ранг его корня (последовательности длины 0 ) и будем называть рангом дерева.

< Лекция 13 || Лекция 14: 123