Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1631 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 13:

Индуктивные определения и степени

< Лекция 12 || Лекция 13: 123 || Лекция 14 >

Теорема 40. Указанное правило задает полный порядок на множестве [B\to A] и порядковый тип этого множества есть \alpha^\beta.

Доказательство. Нам надо проверить, что указанный порядок является полным и что выполнены требования индуктивного определения степени.

Назовем носителем элемента f\hm\in[B\to A] множество тех b\hm\in B, для которых f(b)\hm>0 (здесь 0 обозначает наименьший элемент множества A ). Назовем рангом функции f наибольший элемент носителя (по определению носитель конечен, так что наибольший элемент существует). Ранг определен для всех функций, кроме тождественно нулевой, которая является минимальным элементом множества [B\to A]. Чем больше ранг функции, тем больше сама функция в смысле введенного нами порядка.

Пусть порядок на [B\to A] не является полным и f_0\hm>f_1\hm>f_2\hm>\ldots - убывающая последовательность элементов [B\to A]. Все элементы f_i отличны от 0 ; рассмотрим их ранги. Эти ранги образуют невозрастающую последовательность, поэтому начиная с некоторого места стабилизируются (множество B вполне упорядочено). Отбросим начальный отрезок и будем считать, что с самого начала ранги всех элементов убывающей последовательности одинаковы и равны некоторому b. В соответствии с определением, значения f_0(b),
f_1(b),\dots образуют невозрастающую последовательность, поэтому начиная с некоторого места стабилизируются. Отбросив начальный отрезок, будем считать, что все f_i имеют одинаковый ранг b и одинаковое значение f_i(b). Тогда значения f_i(b) не влияют на сравнения, и потому их можно заменить на 0. Получим убывающую последовательность элементов [B\to A] с рангами меньше b. Чтобы завершить рассуждение, остается сослаться на принцип индукции по множеству B.

(Более формально, рассмотрим все бесконечно убывающие последовательности. У каждой из них рассмотрим ранг первого элемента. Рассмотрим те из них, у которых этот ранг минимально возможный; пусть b - это минимальное значение. В любой такой последовательности все элементы имеют ранг b. Из всех таких последовательностей f_0\hm>f_1\hm>\ldots выберем ту, у которой значение f_0(b) минимально; все следующие ее члены имеют то же значение в точке b (т.е. f_i(b)\hm=f_0(b) ). Заменив значение в точке b нулем, получим бесконечную убывающую последовательность из элементов меньшего ранга, что противоречит предположению.)

Теперь покажем, что такое явное определение степени согласовано с индуктивным определением. Для конечных n это очевидно. Пусть \gamma\hm=\beta\hm+1. Каково (явное) определение \alpha^\gamma? Пусть B упорядочено по типу \beta. Тогда мы должны добавить к B новый наибольший элемент (обозначим его m ) и рассмотреть отображения B\cup\{m\}\to A с конечным носителем. Ясно, что такое отображение задается парой, состоящей из его сужения на B (которое может быть произвольным элементом множества [B\to A] ) и значения на m. При определении порядка мы сначала сравниваем значения на m, а потом сужения на B, то есть полученное множество изоморфно [B\to A]\hm\times A, что и требовалось.

Пусть теперь \gamma - ненулевой предельный ординал и множество C упорядочено по типу \gamma. Как устроено множество {[C\to A]}? Элементы, ранг которых меньше c\hm\in C, образуют в нем начальный отрезок, и этот начальный отрезок изоморфен [[0,c)\to
A]. А само множество [C\to A] является объединением этих начальных отрезков (поскольку каждый элемент этого множества имеет конечный носитель) и потому его порядковый тип является точной верхней гранью их порядковых типов, что и требовалось.

Непосредственным следствием этой теоремы является такое утверждение:

Теорема 41.Если \alpha и \beta - счетные ординалы, то \alpha+\beta, \alpha\beta и \alpha^\beta счетны.

Доказательство. Для суммы и произведения утверждение очевидно. Для степени: если мы пронумеровали все элементы вполне упорядоченных множеств A и B, то любой элемент множества [B\to A] может быть задан конечным списком натуральных чисел (носитель и значения на элементах носителя), а таких списков счетное число.

133. Докажите, что \alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma двумя способами: по индукции и с использованием явного определения степени.

134. Докажите, что (\alpha^\beta)^\gamma=\alpha^{\beta\gamma}.

135. Докажите, что если \alpha\ge2, то \alpha^\beta\ge\alpha\beta.

136. Докажите, что если \omega^\gamma=\alpha+\beta для некоторых ординалов \alpha, \beta и \gamma, то либо \beta=0, либо \beta=\omega^\gamma.

137. Какие ординалы нельзя представить в виде суммы двух меньших ординалов?

138. Докажите счетность \alpha^\beta для счетных \alpha и \beta, используя индуктивное определение степени.

139. Дан некоторый ординал \alpha\hm>1. Укажите наименьший ординал \beta\hm>0, для которого \alpha\beta\hm=\beta. (Указание: что будет, если умножить x на степенной ряд 1\hm+x\hm+x^2\hm+x^3\hm+\ldots?)

Отметим важную разницу между операцией возведения ординалов в степень и ранее рассмотренными операциями сложения и умножения ординалов. Определяя сумму и произведение ординалов, мы вводили некоторый порядок на сумме и произведении соответствующих множеств (в обычном смысле), здесь же само множество {[B\to A]} определяется с учетом порядка и отлично от A^B. (В частности, при счетных A и B множество {[B\hm\to A]} счетно, а A^B - нет.)

Явное описание множества [B\to A] позволяет понять, как устроены его начальные отрезки, то есть какой вид имеют ординалы, меньшие \alpha^\beta.

Рассмотрим некоторую функцию f\hm\in [B\to A]. Пусть она отлична от нуля в точках b_1\hm>b_2\hm>\ldots\hm>b_k и принимает там значения a_1, a_2, \dots, a_k. Нас интересуют все функции, меньшие функции f.

Все они равны нулю в точках, больших b_1. В самой точке b_1 они могут быть либо меньше a_1, либо равны a_1. Любая функция первого типа меньше любой функции второго типа. Функции первого типа могут принимать любые значения в точках, меньших b_1, а в точке b_1 имеют значение из [0,a_1). Тем самым их можно отождествить с элементами множества [[0,b_1)\to A]\hm\times
[0,a_1), и при этом отождествлении сохраняется порядок.

Функции второго типа (равные a_1 в точке b_1 ) снова разбиваются на две категории: те, которые в точке b_2 меньше a_2 и те, которые в b_2 равны a_2. Функции первой категории отождествляются с элементами множества [[0,b_2)\to A]\hm\times [0,a_2). Функции второй категории снова разобьем на части в зависимости от их значения в точке b_3 и т.д Таким образом, [0,f) как упорядоченное множество изоморфно множеству

\begin{align*}
 [[0,b_1)\to A]\times [0,a_1)&+ [[0,b_2)\to A]\times [0,a_2)+\ldots+\\
  &+[[0,b_k)\to A]\times [0,a_k).
\end{align*}
Переходя к ординалам (начальные отрезки - это меньшие ординалы), получаем такое утверждение:

< Лекция 12 || Лекция 13: 123 || Лекция 14 >
Kirill Annenkov
Kirill Annenkov
Украина
Владислав Кияновский
Владислав Кияновский
Израиль, Ашдод