Индуктивные определения и степени
Теорема 42.
Всякий ординал, меньший , представляется в
виде




Доказательство. Возможность такого представления мы уже доказали. Последнее
утверждение следует из того, что любая сумма такого вида
является начальным отрезком в множестве (где
и
упорядочены по типам
и
) и разным
суммам соответствуют разные начальные отрезки.
Это утверждение обобщает описанную нами ранее
" позиционную систему обозначений с основанием " для ординалов, меньших
; теперь вместо
можно использовать любой
ординал.
Можно было бы сразу сказать, что элементами множества
являются формальные суммы вида



Теперь уже понятно, как устроены ординалы в последовательности









140. Докажите, что

141. Определим для натуральных чисел операцию " тотальной замены
основания
на
" (здесь
и
- натуральные
числа, причем
)
следующим образом: данное число
запишем в
-
ичной системе, то есть
разложим по степеням
, показатели степеней снова запишем в
- ичной
системе, новые показатели также разложим и т.д. Затем на всех уровнях
заменим основание
на основание
и вычислим
значение получившегося
выражения. Докажите, что начав с любого
и выполняя
последовательность
операций " вычитание
единицы - тотальная замена основания
на
-
вычитание единицы - тотальная замена основания
на
-
вычитание единицы - тотальная замена основания
на
-,
",
мы рано или поздно зайдем в тупик,т.е.
получится нуль и вычесть единицу будет
нельзя. (Указание: заменим все основания сразу на ординал
;
получится
убывающая последовательность ординалов, меньших
.)