Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1631 / 160 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 13:

Индуктивные определения и степени

< Лекция 12 || Лекция 13: 123 || Лекция 14 >

Теорема 42. Всякий ординал, меньший \alpha^\beta, представляется в виде

\alpha^{\beta_1}\alpha_1 + \alpha^{\beta_2}\alpha_2+\ldots+
\alpha^{\beta_k}\alpha_k
, где \beta\hm>\beta_1\hm>\beta_2\hm>\ldots\hm>\beta_k, а \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k\hm<\alpha. Такое представление однозначно и любая сумма указанного вида является ординалом, меньшим \alpha^\beta.

Доказательство. Возможность такого представления мы уже доказали. Последнее утверждение следует из того, что любая сумма такого вида является начальным отрезком в множестве [B\to A] (где A и B упорядочены по типам \alpha и \beta ) и разным суммам соответствуют разные начальные отрезки.

Это утверждение обобщает описанную нами ранее " позиционную систему обозначений с основанием \alpha " для ординалов, меньших \alpha^k ; теперь вместо k можно использовать любой ординал.

Можно было бы сразу сказать, что элементами множества [B\to A] являются формальные суммы вида

\alpha^{\beta_1}\alpha_1 + \alpha^{\beta_2}\alpha_2+\ldots+
\alpha^{\beta_k}\alpha_k
(где \beta\hm>\beta_1\hm>\ldots\hm>\beta_k и \alpha_1,\dots,\alpha_k\hm<\alpha ) с естественным порядком на них.

Теперь уже понятно, как устроены ординалы в последовательности

\omega^\omega, \omega^{(\omega^\omega)},\ldots
Первый из них образован " одноэтажными" выражениями вида
\omega^{b_1}a_1 + \omega^{b_2}a_2+\ldots+
\omega^{b_k}a_k,
где a_i и b_i - натуральные числа (и b_1\hm>\dots\hm>b_k ). Если в качестве b_1, \dots, b_k разрешить писать любые " одноэтажные" выражения указанного вида, то полученные " двухэтажные" выражения упорядочены по типу \omega^{(\omega^\omega)}. Разрешив в показателях двухэтажные выражения, мы получим трехэтажные выражения, которые образуют следующий ординал и т.д Если объединить все эти множества, то есть не ограничивать число этажей (которое для каждого выражения тем не менее конечно), то получится множество, упорядоченное по типу
\sup(\omega, \omega^\omega, \omega^{(\omega^\omega)},\ldots)
Этот ординал обозначается \varepsilon_0.

140. Докажите, что

\varepsilon_0 = \omega + \omega^\omega + \omega^{(\omega^\omega)}+\ldots

141. Определим для натуральных чисел операцию " тотальной замены основания k на l " (здесь k и l - натуральные числа, причем l\hm>k ) следующим образом: данное число n запишем в k - ичной системе, то есть разложим по степеням k, показатели степеней снова запишем в k - ичной системе, новые показатели также разложим и т.д. Затем на всех уровнях заменим основание k на основание l и вычислим значение получившегося выражения. Докажите, что начав с любого n и выполняя последовательность операций " вычитание единицы - тотальная замена основания 2 на 3 - вычитание единицы - тотальная замена основания 3 на 4 - вычитание единицы - тотальная замена основания 4 на 5 -, \dots ", мы рано или поздно зайдем в тупик,т.е. получится нуль и вычесть единицу будет нельзя. (Указание: заменим все основания сразу на ординал \omega ; получится убывающая последовательность ординалов, меньших \varepsilon_0.)

< Лекция 12 || Лекция 13: 123 || Лекция 14 >
Александр Позевалкин
Александр Позевалкин
Россия