Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1681 / 169 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 11:

Лемма Цорна и свойства операций

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >

Свойства операций над мощностями

Теперь мы можем доказать несколько утверждений о мощностях.

Теорема 32. Если A бесконечно, то множество A\hm\times\bbN равномощно A.

Доказательство. Вполне упорядочим множество A. Мы уже знаем , что всякий элемент множества A однозначно представляется в виде z\hm+n, где z - предельный элемент (не имеющий непосредственно предыдущего), а n - натуральное число. Это означает, что A равномощно B\hm\times\bbN, где B - множество предельных элементов. (Тут есть небольшая трудность - последняя группа элементов конечна, если в множестве есть наибольший элемент. Но мы уже знаем, что добавление конечного или счетного множества не меняет мощности, так что этим можно пренебречь.)

Теперь утверждение теоремы очевидно: A\hm\times\bbN равномощно (B\hm\times\bbN)\hm\times\bbN, то есть B\hm\times(\bbN\hm\times\bbN) и тем самым B\hm\times\bbN (произведение счетных множеств счетно), то есть A.

По теореме Кантора - Бернштейна отсюда следует, что промежуточные мощности (в частности, |A|\hm+|A|, а также любое произведение A и конечного множества) совпадают с |A|. Еще одно следствие полезно выделить:

Теорема 33. Сумма двух бесконечных мощностей равна их максимуму.

Доказательство. Прежде всего напомним, что любые две мощности сравнимы (теорема 25). Пусть, скажем, |A|\hm\le
|B|. Тогда |B|\hm\le |A|+|B| \hm\le |B|+|B| \hm\le
|B|\hm\times\aleph_0 \hm= |B| (последнее неравенство - утверждение предыдущей теоремы). Остается воспользоваться теоремой Кантора- Бернштейна и заключить, что |B|\hm=|A\hm+B|.

Теперь можно доказать более сильное утверждение.

Теорема 34. Если A бесконечно, то A\hm\times A равномощно A.

Доказательство. Заметим, что для счетного множества (как, впрочем, и для континуума - но это сейчас не важно) мы это уже знаем. Поэтому в A есть подмножество, равномощное своему квадрату.

Рассмотрим семейство всех таких подмножеств вместе с соответствующими биекциями. Элементами этого семейства будут пары \langle B, f\rangle, где B - подмножество A, а f\colon B\hm\to B\hm\times B - взаимно однозначное соответствие. Введем на этом семействе частичный порядок: \langle B_1, f_1\rangle\hm\le
\langle B_2,f_2\rangle, если B_1 \hm\subset B_2 и ограничение отображения f_2 на B_1 совпадает с f_1 (рис. рис.11.1).


Рис. 11.1.

Отображение f_1 - взаимно однозначное соответствие между малым квадратом и его стороной; f_2 добавляет к нему взаимно однозначное соответствие между B_2\hm\setminus B_1 и " уголком" (B_2\hm\times B_2)\setminus(B_1\hm\times B_1).

Теперь применим лемму Цорна. Для этого нужно убедиться, что любое линейно упорядоченное (в смысле описанного порядка) множество пар указанного вида имеет верхнюю границу. В самом деле, объединим все первые компоненты этих пар; пусть B - их объединение. Как обычно, согласованность отображений (гарантируемая определением порядка) позволяет соединить отображения в одно. Это отображение (назовем его f ) отображает B в B\hm\times B. Оно будет инъекцией: значения f(b') и f(b'') при различных b' и b'' различны (возьмем большее из множеств, которым принадлежат b' и b'' ; на нем f является инъекцией по предположению). С другой стороны, f является сюръекцией: для любой пары \langle b',b''\rangle\hm\in B\hm\times
B возьмем множества, из которых произошли b' и b'', выберем из них большее и вспомним, что мы имели взаимно однозначное соответствие между ним и его квадратом.

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >