Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 21.02.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1681 / 169 | Оценка: 4.60 / 3.50 | Длительность: 14:25:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 11:

Лемма Цорна и свойства операций

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >

Теорема 31. Всякий частичный порядок может быть продолжен до линейного.

Доказательство. Пусть (X,\le) - частично упорядоченное множество. Теорема утверждает, что существует отношение порядка \le' на X, продолжающее исходное (это значит, что x\hm\le y\Rightarrow x \le'
y ) и являющееся отношением линейного порядка. (Кстати, отметим, что слово "линейного" в формулировке теоремы нельзя заменить на слово "полного" - например, если исходный порядок линейный, но не полный.)

Готовясь к применению леммы Цорна, рассмотрим частично упорядоченное множество Z, элементами которого будут частичные порядки на X (то есть подмножества множества X\hm\times
X, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности), упорядоченные по включению: \le_1 считается меньшим или равным \le_2, если \le_2 продолжает \le_1 (из x\le_1 y следует x\le_2 y ).

Легко проверить, что условие леммы Цорна выполнено: если у нас есть семейство частичных порядков, линейно упорядоченное по включению, то объединение этих порядков является частичным порядком, и этот порядок будет верхней границей семейства. (Проверим, например, что объединение обладает свойством транзитивности. Пусть x\le_1 y в одном из порядков семейства (\le_1), а y\le_2 z в другом; один из порядков (например, \le_1 ) продолжает другой, тогда x\le_1 y \le_1 z и потому x\hm\le z в объединении. Рефлексивность и антисимметричность проверяются столь же просто.)

Следовательно, по лемме Цорна на множестве X существует максимальный частичный порядок, продолжающий исходный. Обозначим его как \le (путаницы с исходным порядком не возникнет, так как исходный нам больше не нужен). Нам надо показать, что он будет линейным. Пусть x,y\hm\in X - два несравнимых элемента. Расширим порядок до нового порядка \le', при котором x\le' y. Этот новый порядок определяется так: a\le'
b, если (1) a\le b или (2) a\le x и y\hm\le b. Несложно проверить, что \le' будет частичным порядком. Рефлексивность очевидна. Транзитивность: если a\le'b и b\le' c, то есть четыре возможности. Если в обоих случаях имеет место случай (1), то a\hm\le b \hm\le c и все очевидно. Если a\le' b в силу (1), а b\le c в силу (2), то a\hm\le b\hm\le x и y\hm\le c, так что a \le'
c в силу (2). Аналогично рассматривается и симметричный случай. Наконец, двукратная ссылка на (2) невозможна, так как тогда (a\hm\le x), (y\hm\le b), (b\hm\le x) и (y\hm\le c), и получается, что y\hm\le b\hm\le x, а мы предполагали, что x и y не сравнимы. Антисимметричность доказывается аналогично. Таким образом, отношение \le' будет частичным порядком, строго содержащим \le, что противоречит максимальности.

120. Покажите, что любое бинарное отношение без циклов (цикл образуется, если xRx, или xRyRx, или xRyRzRx и т.д) может быть продолжено до линейного порядка. (Для конечных множеств поиск такого продолжения обычно называют " топологической сортировкой ".)

121. Множество на плоскости называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Покажите, что любые два непересекающихся выпуклых множества можно разделить прямой (каждое множество лежит по одну сторону от прямой, возможно, пересекаясь с ней). (Указание. Используя лемму Цорна, можно расширить исходные непересекающиеся множества A и B до взаимно дополнительных выпуклых множеств A' и B'. Затем можно убедиться, что граница между A' и B' представляет собой прямую.)

< Лекция 10 || Лекция 11: 1234 || Лекция 12 >