НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 3: Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматриваются вопросы, связанные с наибольшим общим делителем и последовательностями полиномиальных остатков. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Наибольший общий делитель. Определения и алгоритмы вычисления

В данном параграфе мы рассмотрим определение наибольшего общего делителя (НОД) двух элементов и алгоритмы его вычисления.

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, $a,b\in R$ . Мы говорим, что a делит b и пишем a|b, если существует элемент $c\in R$ , такой, что $b=a\cdot c$ ; если такого элемента не существует, то мы говорим, что a не делит b, и пишем $a\nmid b$ . Заметим, что определение делимости зависит от рассматриваемого кольца. Так, например, $2 \mid 3$ в поле рациональных чисел $\mathbb Q$ , но $2 \nmid 3$ в кольце целых чисел $\mathbb Z$ .

5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ненулевой элемент $a \in R$ такой, что ab = 0 для некоторого $b \ne 0$ называется делителем нуля кольца R, а элемент $\varepsilon \in R$ , такой, что $\varepsilon | 1$ называется обратимым, или делителем единицы, или единицей кольца R.

5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коммутативное кольцо с единицей и без де- лителей нуля называется областью целостности или просто областью.

5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Элемент $a \in R$ называется неприводимым, если из представления a = bc в виде произведения двух элементов кольца R, следует, что хотя бы один из элементов b и c обратим в R.

5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — коммутативное кольцо с едини- цей. Идеал $I\subset R$ называется простым, если из $bc \in I$ следует, что хотя бы один из элементов b и c лежит в I.

5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мы говорим, что идеал I порожден элементами b₁, . . . , b_n, и пишем I = (b₁, . . . , b_n), если $b_{1}, . . . , b_{n} \in I$ и любой элемент $b \in I$ может быть записан в виде $b=\sum\limits_{i=1}^nc_ib_i$ где $c_{i} \in R$ .

5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Идеал I называется главным, если I = (b) для некоторого элемента $b \in I$ . Кольцо R называется кольцом главных идеалов, если любой идеал кольца R является главным.

5.7. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что Z и k[x] — кольца главных идеалов, а $\mathbb Z[x]$ и k[x, y] — нет.

5.8. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что главный идеал (b) является простым тогда и только тогда, когда b — неприводимый элемент.

5.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементы a и b кольца R называются ассоциированными, если $a = \varepsilon \cdot b$ , где $\varepsilon$ — единица (обратимый элемент) кольца R.

5.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо R называется факториальным или кольцом с однозначным разложением на множители, если любой элемент $a \in R$ можно представить в виде $a = \varepsilon \cdot p_{1} \cdot\cdot\cdot pn$ , где $\varepsilon$ — единица, а p_i — неприводимые, причем если $a = \varepsilon _{1} \cdot q_{1} \cdot\cdot\cdot q_{m}$ — другое такое разложение, то m = n и для любого индекса i существует индекс j, такой, что p_i ассоциировано с q_j.

5.11. ЛЕММА. Пусть R — область главных идеалов. Если элемент $a \in R$ допускает разложение на неприводимые множители, то это разложение однозначно в смысле предыдущего определения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО оставим читателю в качестве упражнения.

5.12. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что $\mathbb Z[x]$ и k[x, y] — факториальные кольца.

Сформулируем (без доказательства) теорему, которая позволяет получать новые факториальные кольца.

5.13. ТЕОРЕМА. Если R — факториальное кольцо, то кольцо многочленов R[x] также факториально.

Приведем пример нефакториального кольца.

5.14. ПРИМЕР. Кольцо $\mathbb Z [\sqrt{-5}]$ — нефакториально. В частности, $9=3\cdot3=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$ — два различных разложения числа 9 на неприводимые множители в этом кольце.

5.15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, $a, b \in R$ . Элемент $d \in R$ называется наибольшим общим делителем элементов a и b, если d | a, d | b и для любого другого элемента d', такого, что d' | a и d' | b выполняется соотношение d' | d.

5.16. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что в кольце $\mathbb Z$ для любых целых чисел a и b, не равных одновременно нулю, существует наибольшее целое число, которое делит a и b, и это число является наибольших общим делителем чисел a и b в смысле определения 5.15. Показать, что определение 5.15 в кольце $\mathbb Z$ определяет НОД( a, b ) неоднозначно.

5.17. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что в кольце k[x] многочленов от одной переменной x над полем k для любых многочленов a и b, не равных одновременно нулю, существует многочлен наибольшей степени, который делит a и b, и этот многочлен является наибольшим общим делителем элементов a и b в смысле определения 5.15. Показать, что определение 5.15 в кольце k[x] определяет НОД( a, b ) неоднозначно.

Свойства НОД(a,b) в Z.

НОД(a, a) = {a,-a}
НОД(a, 0) = {a,-a}
НОД(a, b) = НОД(b, a)
НОД(c · a, c · b) = c · НОД(a, b)
если НОД(a, c) = {1,-1} (в частности, если c = -1 ), то НОД(a, c · b) = НОД(a, b)
НОД(a, b) = НОД(a - b, b)
НОД(a, b) = НОД(b, r), где r — остаток от деления a на b

Используя различные комбинации этих свойств, можно получить различные алгоритмы вычисления НОД(a, b) в кольце $\mathbb Z$ . Пользуясь свойствами 3 и 5, можно свести задачу вычисления НОД в $\mathbb Z$ к той же задаче для множества неотрицательных целых чисел и ограничиться представителем только положительного числа в качестве результата. Например, используя свойства 1, 3, 6, можно получить один из простейших алгоритмов вычисления НОД; используя свойства 1, 4, 5 с c = 2, получаем бинарный алгоритм вычисления НОД ; а используя свойства 2 и 7, получаем алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел.

5.18. УПРАЖНЕНИЕ. Сформулировать перечисленные алгоритмы.

Евклидовы кольца.

Свойство 7 использует понятие "остаток от деления одного числа на другое" . На этом свойстве основан алгоритм Евклида, и распространение действия этого алгоритма на другие кольца достигается введением следующего определения.

5.19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область целостности R называется евклидовым кольцом, если каждому ненулевому элементу $a \in R$ сопоставлено целое неотрицательное число g(a) со следующими свойствами: