НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 3: Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Что касается необходимого количества редукций (количества простых чисел, по модулю которых выполняются вычисления), то можно поступить одним из следующих способов:

оценить заранее достаточное число редукций, пользуясь, например, оценками для коэффициентов делителей заданного многочлена, приведенными в "Алгоритмы Кронекера. Разложение на множители, свободные от квадратов. Факторизация" ;
после каждой редукции пересчитывать коэффициенты искомого НОД, пользуясь КТО; если применение новой редукции не меняет этих коэффициентов, то проверить, делит ли полученный многочлен исходные. Если да, то задача решена, иначе выполнять следующие редукции.

Отметим, что в этой задаче, применяя КТО, мы должны находить числа с данными вычетами не из множества неотрицательных чисел $\smu{1}\{0,1,\dots,m-1\}$ , а из симметричной системы $\smu{1}\{-(m-1)/2,\dots,-1,0,1,\dots,(m-1)/2\}$ (при четном , т. е. когда в качестве одного из модулей используется 2, система получается немного несимметричной: от -k+1 до , где k=m/2 ).

Основная же проблема состоит в том, как согласовать вычисления для различных значений . Здесь можно предложить два подхода.

Во-первых, можно свести задачу к случаю, когда искомый НОД является нормированным многочленом. Для этого заметим, что старший коэффициент искомого НОД делит старшие коэффициенты исходных многочленов, а значит, делит НОД старших коэффициентов этих многочленов. Обозначим этот НОД через . Перейдем от переменной к переменной y=cx . Для этого нам понадобится домножить исходные многочлены на некоторые степени числа , чтобы после замены cx=y получить многочлены a'(y) и b'(y) с целочисленными коэффициентами. После этого решаем задачу для многочленов a'(y) и b'(y) , выполняя все вычисления в кольцах вычетов над нормированными многочленами. Получаем d'(y)=НОД(a'(y),b'(y)) в $\Z[y]$ . К сожалению, d'(cx) , в общем случае, не является искомым наибольшим общим делителем, а отличается от него некоторым целочисленным множителем. Чтобы найти искомый НОД, достаточно вычислить примитивную часть многочлена d'(cx) .

Недостаток этого метода в том, что при достаточно высоких степенях исходных многочленов коэффициенты промежуточных многочленов (от ) становятся очень большими, что требует большего количества чисел , используемых для редукций, и более громоздких вычислений при применении КТО.

А 8. АЛГОРИТМ (Модулярный НОД).

$\begin{align*} &\text{Дано: \quad $a(x), b(x) \in Z[x]$}\\ &\text{Надо: \quad $d(x) = НОД(a(x), b(x))$}\\ &\text{начало}\\ &\text{$c := НОД(lc(a(x)), lc(b(x)))$}\\ &\text{выбрать нечетное простое $p$}\\ &\text{$m := p$}\\ &\text{$dm(x) := c * НОД(a_p(x), b_p(x))$ (в симметричной системе вычетов}\\ &\text{\quad \quad \quad по модулю $m$);}\\ &\text{цикл пока $p.p.(d_m(x))$ не делит $a(x) и b(x) в Z[x]$}\\ &\text{\quad выбрать следующее простое $p$}\\ &\text{\quad $d_p(x) := НОД(a_p(x), b_p(x))$}\\ &\text{\quad если $deg d_p(x) < deg d_m(x)$ то}\\ &\text{\quad \quad $m := p$}\\ &\text{\quad \quad $d_m(x) := c * d_p(x)$ (в симметричной системе вычетов}\\ &\text{\quad \quad \quad по модулю $m$);}\\ &\text{\quad иначе если $deg d_p(x) = deg d_m(x)$ то}\\ &\text{\quad \quad Применить КТО к $(m, p, d_m(x), c * d_p(x))$}\\ &\text{\quad конец если}\\ &\text{конец цикла}\\ &\text{вернуть$(d_m(x)$)} \end{align*}$

Предписание "Применить КТО к (m,p,d_m(x),c*d_p(x)) " означает следующее. На входе: — простое число, — натуральное число, не делящееся на , коэффициенты многочленов $d_m(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i$ и $c*d_p(x)=\smash[t]{\sum\limits_{i=0}^n}b_ix^i$ рассматриваются как представители смежных классов по модулю и соответственно. Вычисляются числа a'_i , такие что $a'_i\equiv a_i\pmod m$ и $a'_i\equiv b_i\pmod p$ , $-mp/2 < a'_i\le mp/2$ , $i=0,1,\dots,n$ . На выходе m:=m*p и $d_m(x)=\sum\limits_{i=0}^na'_ix^i$ .

6.16. ЗАДАЧА. Доказать корректность представленного алгоритма.

6.17. ПРИМЕР. Пользуясь модулярным алгоритмом, вычислим НОД многочленов f(x)=28x^3+216x^2-193x-51 и g(x)=8x^3+
78x^2+33x-442 .

Наибольший общий делитель старших коэффициентов равен 4. Вычисляя $НОД(f(x),g(x))\pmod3$ , получим d_3(x)=x+1 . Домножая d_3(x) на 4 и переходя к симметричной системе вычетов, снова получим x+1 . Легко проверить, что полученный многочлен не делит ни один из исходных многочленов.

В качестве следующего простого числа берем p=5 . Вычисляя $НОД(f(x),g(x))\pmod5$ , получим d_5(x)=x^2+3x+2 . Поскольку $\smu{1} \deg(d_5)>\deg(d_3)$ , заключаем, что $\smu{1} p=5$ является "плохой редукцией".

Переходим к p=7 . Получаем $\smu{1} d_7(x)=НОД(f(x),g(x))\pmod7= x+5$ . Домножая на 4, получим $4x+20\equiv 4x+6\pmod7$ . Пользуясь китайской теоремой об остатках, решаем систему сравнений

$\begin{cases} a\equiv 1\pmod3,&\\a\equiv6\pmod7.&\end{cases}$

Получаем $a\equiv13\pmod{21}$ . Переходя к симметричной системе вычетов, получаем $d_{21}(x)=4x-8$ . Убеждаемся, что $d_{21}(x)$ не делит исходные многочлены в $\mathbb Q[x]$ .

Берем p=11 . Получаем $d_{11}(x)=НОД(f(x),g(x))\pmod{11} = x+3$ . Домножая на 4, получим $4x+12\equiv 4x+1\pmod7$ . Пользуясь китайской теоремой об остатках, решаем систему сравнений

$\begin{cases} a\equiv 13\pmod{21},&\\a\equiv1\pmod{11}.&\end{cases}$

Получаем $a\equiv34\pmod{231}$ . Переход к симметричной системе вычетов ничего не меняет, и в итоге мы получаем $d_{231}(x)=4x+34$ . Убеждаемся, что $d_{231}(x)$ делит исходные многочлены в $\mathbb \Q[x]$ и $p.p.(d_{231}(x))=2x+17$ является наибольшим общим делителем исходных многочленов.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Вопросы и ответы

Студенты