НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 5: Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматривается определение целозначных многочленов, их основные свойства, а также размерностные многочлены матрицы. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Определение целозначных многочленов и их основные свойства

11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен f(t) от переменной с рациональными коэффициентами называется целозначным если $f(t)\in\mathbb Z$ для всех достаточно больших $t\in\mathbb Z$ .

Очевидно, что всякий многочлен с целыми коэффициентами является целозначным. В качестве примера целозначного многочлена, коэффициенты которого не являются целыми числами, рассмотрим многочлен

$\begin{equation} \binom tm = \frac{t(t-1)\dots(t-m+1)}{m!}\quad (m \in Z, m \geq 1) \end{equation}$

( 11.1)

который для любого целого $t\ge m > 0$ задает число сочетаний из

по

.

Иногда мы будем рассматривать выражение $\binom tm$ для неположительных значений , полагая

$\begin{equation} \binom t0 =1,\quad \binom tm=0\quad \text{ для } m < 0. \end{equation}$

( 11.2)

Мы также полагаем

${\binom tm}_+ = \begin{cases} \binom tm & \text{если } t\ge 0\\0 & \text{если }t<0.\end{cases}$

Непосредственными вычислениями проверяется, что

$\begin{equation} \binom {t+1}m =\binom tm +\binom t{m-1} \quad\text{для всех $m\in\N$.} \end{equation}$

( 11.3)

Следующее предложение дает некоторые соотношения между "биномиальными" целозначными многочленами, которые будут использоваться в дальнейшем.

11.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Следующие соотношения выполняются для всех $n, p ,r\in \mathbb N$ :

$\sum_{i=0}^n\binom {t+i}r&=\binom {t+n+1}{r+1}-\binom t{r+1};$

( 11.4)

$\sum_{i=0}^n\binom {t+i}i&=\binom {t+n+1}n;$

( 11.5)

$\sum_{i=0}^n\binom ti\binom k{n-i}&=\binom {t+k}n;$

( 11.6)

$\sum_{i=0}^n2^i\binom ni\binom ti&=\sum_{i=0}^n\binom ni\binom{t+i}n;$

( 11.7)

$\sum_{i=0}^n2^i\binom ni\binom ti&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\binom{t+i}i.$

( 11.8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Справедливость равенств (11.4) и (11.5) может быть легко выведена из (11.3) индукцией по .

Прежде чем доказывать (11.6)-(11.8), заметим, что если значения целозначных многочленов f(t) и g(t) совпадают для всех достаточно больших целых значений , то $f(t)\equiv g(t)$ . Поэтому при доказательстве (11.6)-(11.8) мы можем (и будем) предполагать, что $t\in \mathbb Z$ , $t\ge n$ .

Сравнивая коэффициенты при x^n в тождестве $(1+x)^{t+k}= (1+x)^t(1+x)^k$ , мы получим (11.6). Для того, чтобы получить (11.7), сначала докажем, что

$\begin{equation} \sum_{i=0}^n\binom ni\binom i{n-k}=2^k\binom nk \end{equation}$

( 11.9)

для всех $k,n \in \N$ (как обычно, мы полагаем $\binom nk = 0$ для k > n

). Действительно, используя непосредственно проверяемое тождество

$\binom ni\binom i{n-k}=\binom nk\binom k{i+k-n},$

получаем

$\begin{align*} \sum_{i=0}^n\binom ni\binom i{n-k}&=\sum_{i=0}^n\binom nk\binom k{i+k-n}= \binom nk\sum_{i=n-k}^n\binom k{i-(n-k)}\\ &=\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj=\binom nk (1+1)^k=2^k\binom nk. \end{align*}$

Теперь для завершения доказательства (11.7) достаточно воспользоваться (11.6) и (11.9):

$\begin{align*} \sum_{i=0}^n\binom ni\binom {t+i}n&=\sum_{i=0}^n\binom ni\sum_{k=0}^n \binom tk\binom i{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom tk\sum_{i=0}^n\binom ni\binom i{n-k} =\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk. \end{align*}$

Теперь мы можем применить (11.6) и очевидное тождество

$\binom ni\binom ik=\binom nk\binom {n-k}{i-k}\quad ( n, k, i \in \N ),$

чтобы получить (11.8):

$\begin{align*} \sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i&\binom ni\binom{t+i}i =\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\sum_{k=0}^i\binom tk\binom i{i-k}\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\sum_{k=0}^n\binom tk\binom ik\\ &=\sum_{k=0}^n\binom tk\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\binom ik\\ &=\sum_{k=0}^n\binom tk\binom nk\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom {n-k}{i-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom tk2^k\sum_{i=k}^n(-1)^{n-i}2^{i-k}\binom {n-k}{n-i}\\ &=\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{(n-k)-j}2^j\binom {n-k}{n-k-j}\\ &=\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk(2-1)^{n-k}= \sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk. \end{align*}$

Доказательство предложения закончено.

Заметим, что если f(t) - целозначный многочлен, то его первая разность $\Delta f(t)=f(t+1)-f(t)$ и следующие разности $\Delta^2f(t)= \Delta(\Delta f(t))$ , $\Delta^3f(t)=\Delta (\Delta^2 f(t))$ , \etc также являются целозначными многочленами. В частности, из (11.3) следует, что

$\begin{equation} \Delta\binom tm=\binom t{m-1}\quad (m\in \mathbb N ). \end{equation}$

( 11.10)

11.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть f(t) - целозначный многочлен степени . Тогда f(t) можно представить в виде

$\begin{equation} f(t)=\sum_{i=0}^ma_i\binom {t+i}i, \end{equation}$

( 11.11)

где $a_0,a_1,\dots,a_m$ - целые числа, однозначно определенные многочленом f(t)

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разделив многочлен f(t) на $\binom {t+m}m$ в кольце $\mathbb Q[t]$ , мы получим $f(t)=a_m\binom{t+m}m+r(t)$ , где $a_m\in\mathbb Q$ и $\textrm{deg} r(t)\le m-1$ . Разделив r(t) на $\binom {t+m-1}{m-1}$ (в $\mathbb Q[t]$ ), мы получим $f(t)=a_m\binom{t+m}m+ a_{m-1}\binom{t+m-1}{m-1}+r_1(t)$ , где $\textrm{deg} r_1(t)\le m-2$ . Продолжая этот процесс, мы придем к выражению

$\begin{equation} f(t)=\sum_{i=0}^ma_i\binom{t+i}i,\quad a_i\in\mathbb Q\quad(i=0,1,\dots,m), \end{equation}$

( 11.12)

где рациональные числа $a_0,a_1,\dots,a_m$ однозначно определены многочленом f(t)

. Нам нужно показать, что $a_i\in\mathbb Z$ $(i=0,1,\dots,m)$ . Будем это делать индукцией по $m=\textrm{deg} f(t)$ .

Если m=0 , то из целозначности многочлена f(t) следует, что $f(t)=a_0\in\mathbb Z$ . Предположим, что m>0 и существование и однозначность представления (11.11) (с целыми коэффициентами $a_0, a_1,\dots,a_m$ ) доказана для всех целозначных многочленов степени меньшей . Рассматривая конечные разности обеих частей (11.12) и используя (11.10), мы получаем

$\Delta^kf(t) =\sum_{i=0}^{m-k}a_{i+k}\binom {t+i+k}i\quad(k=1,2,\dots,m)$

Многочлен $\Delta^kf(t)$ является целозначным, следовательно, $\Delta^mf(t)= a_m\in \mathbb Z$ . Применяя предположение индукции к многочлену $f(t)- a_m\binom {t+m}m =\sum\limits_{i=0}^{m-1}a_i\binom {t+i}i$ (степень которого не превосходит m-1

), мы получим, что $a_0,a_1,\dots,a_{m-1}\in \mathbb Z$ .

Из предложения 11.3, в частности, следует, что старший коэффициент любого целозначного многочлена f(t) степени равен $\frac {\Delta^m f(t)}{m!}$ , следовательно, f(t) можно представить в виде

$\begin{equation} f(t)=\frac {\Delta^mf(t)}{m!}t^m+o(t^m). \end{equation}$

( 11.13)

(Как обычно, o(t^m)

обозначает многочлен с рациональными коэффициентами, степень которого не превосходит m-1

.)

Кроме того, поскольку $\binom{t+i}i\in\mathbb Z$ для любых $t\in\mathbb Z$ и $i\in\mathbb N$ , из предложения 11.3 вытекает следующий результат.

11.4. СЛЕДСТВИЕ. Пусть f(t) - целозначный многочлен. Тогда $f(s)\in\mathbb Z$ для всех $s\in\mathbb Z$ (не только достаточно больших).

11.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть $f(t)= a_mt^m+a_{m-1}t^{m-1}+\dots+a_1t+ a_0$ - целозначный многочлен степени и $s_0\in\mathbb Z$ . Тогда существует целозначный многочлен g(t) со следующими свойствами:

$g(s) = f(s_0+1) + f(s_0+2) +\dots+ f(s)$ для всех $s \in \mathbb Z$ , ;
$\textrm{deg} \; g(t) = m + 1$ ;
старший коэффициент многочлена равен $\frac 1{m+1}a_m\cdotp$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предложению 11.3 f(t) можно представить в виде $f(t) =\sum\limits_{i=0}^m b_i\binom {t+i}i$ , где $b_0,b_1,\dots,b_m\in \mathbb Z$ , и легко видеть, что $b_m=a_m\cdot m$ !. Следовательно,

$f(s_0+1)+f(s_0+2)+\dots+f(s)=\sum_{i=0}^mb_i\sum_{k=0}^{s-s_0-1}\binom{s_0+1+i+k}i$

для всех $s\in \mathbb Z$ , s>s_0

. Воспользовавшись соотношением (11.4), можно заменить внутреннюю сумму в правой части последнего уравнения на $\binom{s+i+1}{i+1}-\binom{s_0+i+1}{i+1}$ , следовательно,

$\begin{align*} \sum_{j=1}^{s-s_0}f(s_0+j)&=\sum_{i=0}^m b_i\left[ \binom{s+i+1}{i+1}-\binom{s_0+i+1}{i+1}\right]\\ &=\sum_{i=0}^mb_i\binom{s+i+1}{i+1}- A, \end{align*}$

где $A=\sum\limits_{i=0}^mb_i\binom {s_0+i+1}{i+1}\in\mathbb Z$ . Таким образом, целозначный многочлен $g(t)=\sum\limits_{i=0}^mb_i\binom{t+i+1}{i+1}-A$ удовлетворяет всем условиям (1)-(3) (степень этого многочлена равна m+1

, и коэффициент при $t^{m+1}$ равен коэффициенту при $t^{m+1}$ в многочлене $b_m\binom{t+m+1}{m+1}$ , т.е. числу $\frac{b_m}{(m+1)!}=\frac1{m+1}a_m$ ). Предложение доказано.

В заключение этого параграфа мы дадим решение некоторых комбинаторных задач, тесно связанных с задачей вычисления дифференциальных и разностных размерностных многочленов.

Для любых целых чисел и (m>0 , $r\ge 0)$ , пусть $\mu^+(m,r)$ обозначает число решений уравнения