НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 5: Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

11.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. В обозначениях, введенных выше,

$\mu^+(m,r) &= \binom {r-1}{m-1},$

( 11.16)

$\mu(m,r) &=\binom {m+r-1}{m-1},$

( 11.17)

$\bar\mu(m,r) &=\sum_{i=1}^m2^i\binom mi\binom {r-1}{i-1}.$

( 11.18)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего докажем равенство (11.17). Для этого поставим в соответствие каждому решению $(x_1,\dots, x_m) \in \mathbb N^m$ уравнения (11.14) упорядоченное множество из нулей и (m-1) единиц, построенное следующим образом: берем x_1 нулей, затем одну единицу, затем x_2 нулей и одну 1 и т. д. После последней единицы берем x_m нулей. Легко видеть, что построенное соответствие взаимно однозначно и $\mu(m,r)$ равно числу описанных выше множеств. С другой стороны, это число равно числу всех (m-1) -элементных подмножеств множества $\{1,2,\dots,m+r-1\}$ : подмножество $\{i_1,\dots,i_{m-1}\}$ $(1\le i_1,\dots,i_{m-1}\le m+r-1)$ соответствует упорядоченному множеству нулей и единиц, в котором единицы находятся на местах $i_1,\dots,i_{m-1}$ . Следовательно, $\mu(m,r)=\binom {m+r-1}{m-1}$ .

Любое решение $(x_1,\dots,x_m)$ уравнения (11.14) в положительных целых числах соответствует решению $(x'_1,\dots,x'_m) \in \mathbb N^m$ уравнения $x_1+\dots+x_m=r-m$ , где x'_i=x_i-1 $( 1\le i\le m )$ . Обратно, каждое решение $(x'_1,\dots,x'_m) \in \mathbb N^m$ последнего уравнения соответствует решению в положительных целых числах $(x'_1+ 1,\dots,x'_m+ 1)$ уравнения (11.14). Следовательно,

$\mu^+(m,r)=\mu(m,r-m)=\binom{r-m+m-1}{m-1}=\binom {r-1}{m-1}.$

(Заметим, что (11.16) выполняется также при r<m

, так как $\binom kl = 0$ для $k,l \in \mathbb N, k < l$ .)

Для доказательства равенства (11.18) заметим, что число -наборов $(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m$ , у которых $x_1+\dots+x_m=r$ и все координаты кроме $x_{k_1},\dots,x_{k_i}$ $(1\le i\le m)$ нулевые, равно $\mu^+ (i,r) =\binom {r-1}{i-1}$ . Значит, число элементов $(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m$ , у которых $|x_1|+\dots+|x_m| = r$ и все координаты кроме $x_{k_1},\dots,x_{k_i}$ нулевые, равно $2^i\binom {r-1}{i-1}$ . Таким образом, существует $\binom mi2^i\binom {r-1}{i-1}$ элементов $(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb Z^m$ , таких что $|x_1|+|x_2|+\dots+|x_m|=r$ и ровно координат вектора $(x_1,\dots,x_m)$ отличны от нуля $(i=1,2,\dots,m)$ . Следовательно, $\bar\mu(m,r) =\sum\limits_{i=1}^m2^i\binom mi\binom {r-1}{i-1}$ . Предложение доказано.

11.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть $\bar u=(u_1,\dots,u_m)$ , $\bar v= (v_1,\dots,v_m)\in\mathbb N^m$ , $u_i\le v_i$ $(i=1,\dots,m)$ . Обозначим через $C_{mr}(\bar u,\bar v)$ $( m,r \in \mathbb N$ , $m \ge 1)$ число решений $(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m$ уравнения (11.14), таких, что $u_i \le x_i \le v_i$ $(i=1,\dots,m)$ , и пусть $R = u_1+\dots+ u_m$ , d_i = v_i- u_i +
1 $(1\le i\le m)$ . Тогда

$\begin{equation} \begin{multiline} C_{mr}(\bar u,\bar v) =\binom {m+r-R-1}{m-1}\\ +\sum\limits_{k=1}^m(-1)^k\sum\limits_{\substack{ 1\le j_1<\dots<j_k\le m\\d_{j_1}+\dots+d_{j_k}\le r-R}} \binom {m+r-R-d_{j_1}-\dots-d_{j_k}-1}{m-1}. \end{multiline} \end{equation}$

( 11.19)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения $C_{mr}(\bar u,\bar v)$ следует, что это число равно коэффициенту при t^r в многочлене $P(t)=t^R(1+t+\dots+t^{d_1-1})(1+t+\dots+t^{d_2-1})\dots (1+t+\dots+t^{d_m-1})$ .Действительно, каждое решение $(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m$ $(u_i \le x_i\le v_i$ при $i=1,\dots,m)$ уравнения (11.14) находится во взаимно однозначном соответствии с мономом t^r (с коэффициентом 1), полученным разложением многочлена P(t) , если в -х скобках мы возьмем множитель $t^{x_i-u_i}$ $(i=1,\dots,m)$ . Следовательно, число таких мономов равно $C_{mr}(\bar u,\bar v)$ .

Поскольку $1+t+\dots+t^{d_i-1}= (1-t)^{-1}(1-t^{d_i})$ $(1\le i\le m)$ , имеем $P(t)=t^R(1-t)^{-m}\prod_{j=1}^m(1-t^{d_j})$ . Кроме того, так как $(1-t)^{-1}=\sum\limits_{i=0}^\infty t^i$ в кольце формальных степенных рядов $\mathbb Q[[t]]$ (это равенство является непосредственным следствием очевидного соотношения $(1-t)\sum\limits_{i=0}^\infty t^i = 1$ ), то $(1-t)^{-m} = (1+t+t^2+\dots) (1+t+t^2+\dots) \dots (1+t+t^2+\dots) =\sum_{l=0}^\infty C_lt^l$ ,где (в соответствии с вышесказанным) коэффициент C_l равен числу решений $(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m$ уравнения $x_1+\dots+x_m = l$ . Следовательно, (см. предложение 11.6), $C_l =\binom {m+l-1}{m-1}$ , так что $(1-t)^{-m}=\sum\limits_{l=0}^\infty\binom {m+l-1}{m-1} t^l$ . Это соотношение показывает, что коэффициент при t^r в многочлене

$P(t)=t^R\left\{ \sum\limits_{l=0}^\infty\binom {m+l-1}{m-1}t^l\right\} \prod\limits_{j=1}^m (1-t^{d_j}) \\ = \left\{ \sum\limits_{l=R}^\infty\binom {\thickmuskip=0mu\thinmuskip=0mu\medmuskip=0mu m+l-R-1}{m-1}t^l\right\} \cdot \left\{ 1+\sum\limits_{k=1}^m(-1)^k\!\!\!\!\sum\limits_{1\le j_1<\dots<j_k\le m}\!\!\!\! t^{d_{j_1}+\dots+d_{j_k}}\right\}$

равен

$\begin{multiline*} \binom {m+r-R-1}{m-1}\\ +\sum\limits_{k=1}^m(-1)^k\sum\limits_{\substack{ 1\le j_1<\dots<j_k\le m\\d_{j_1}+\dots+d_{j_k}\le r-R}} \binom {m+r-R-d_{j_1}-\dots-d_{j_k}-1}{m-1} \end{multiline*}$

Обозначим через $\rho(m,r)$ и $\bar\rho(m,r)$ соответственно число решений $(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m$ неравенства

$\begin{equation} x_1+ \dots + x_m \le r \end{equation}$

( 11.20)

и число решений $(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb Z^m$ неравенства

$\begin{equation} |x_1|+\dots+|x_m|\le r, \end{equation}$

( 11.21)

$(m,r \in \mathbb N;\ m>0)$ .

11.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Во введенных выше обозначениях

$\rho(m,r) &=\binom {r+m}m,$

( 11.22)

$\bar\rho(m,r) &=\sum_{i=0}^m2^i\binom mi\binom ri= \sum_{i=0}^m\binom mi\binom {r+i}m \notag \\ &=\sum_{i=0}^m(-1)^{m-i}2^i \binom mi\binom {r+i}i.$

( 11.23)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку

$\rho(m,r) =\sum_{k=0}^r\mu(m,k)=\sum_{k=0}^r\binom {m+k-1}{m-1}=\sum_{k=0}^r\binom {m+k-1}k,$

получаем (применяя (11.5) при t=m-1

,

), что $\rho(m,r) = \binom {m-1+r+1}r=\binom {r+m}m$ .

Чтобы доказать (11.23), воспользуемся формулой (11.18):

$\begin{align*} \bar\rho(m,r) =&\sum_{k=0}^r\bar\mu(m,k) =\sum_{k=0}^r\sum_{i=0}^m2^i\binom mi\binom{k-1}{i-1}\\ =&\sum_{i=0}^m2^i\binom mi\sum_{k=0}^r\binom{k-1}{i-1}. \end{align*}$

Так как $\binom {k-1}{i-1}= 0$ при k<i

, имеем

$\begin{align*} \sum_{k=0}^r\binom {k-1}{i-1} &=\sum_{k=i}^r\binom {k-1}{i-1}=\sum_{q=0}^{r-i}\binom {q+i-1}{i-1}\\ &=\sum_{q=0}^{r-i}\binom{i-1+q}q=\binom{i-1+r-i+1}{r-i}=\binom ri \end{align*}$

(см. 11.5). Таким образом, $\bar\rho(m,r) =\sum\limits_{i=0}^m2^i\binom mi\binom ri$ , и остальные равенства в (11.23) немедленно следуют из (11.17) и (11.18). Предложение доказано.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Вопросы и ответы

Студенты