НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 5: Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

12.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен $\omega_E(t)$ , существование которого доказано в теореме 12.5, называется "многочленом Гильберта" подмножества $E \subseteq \mathbb N^m$ .

12.7. ЗАМЕЧАНИЕ. Из рассуждений, приведенных в начале доказательства теоремы 12.5, следует, что размерностный многочлен множества $E\subseteq \mathbb N^m$ равен размерностному многочлену конечного множества , состоящего из всех минимальных элементов множества . Поэтому, чтобы уметь находить размерностные многочлены подмножеств множества $\mathbb N^m$ , достаточно найти метод, вычисляющий размерностные многочлены конечных подмножеств $F \subseteq \mathbb N^m$ , элементы которых попарно несравнимы.

Поэтому в дальнейшем мы всегда будем иметь дело с конечными множествами $E = \{\textbf{e}_1,\dots,\textbf{e}_n\} \subseteq \mathbb N^m$ и записывать элементы этих множеств в виде матрицы размера $n\!\times\!m$ со строками $\textbf{e}_1,\dots,\textbf{e}_n$ . Эту матрицу будем обозначать той же буквой . Под размерностным многочленом $n\times m$ -матрицы мы будем понимать размерностный многочлен множества строк матрицы (рассматриваемого как подмножество множества $\mathbb N^m$ ). В следующей теореме мы формулируем уже доказанные свойства размерностных многочленов подмножеств множества $\mathbb N^m$ в форме свойств размерностных многочленов матриц. Все элементы рассматриваемых матриц и векторов принадлежат $\mathbb N$ .

12.8. ТЕОРЕМА. Предположим, что $E=(e_{ij})$ - $n\!\times\! m$ -матрица и $\textbf{e}=(e_1,\dots,e_m)$ - вектор. Тогда

имеет место равенство
$\begin{equation*} \vad \omega_E(s)=\omega_{E\cup\textbf{e}}(s)+\omega_H(s-|\textbf{e}|), \end{equation*}$ ( 12.3)
где $E\cup\textbf{e}$ - матрица, полученная присоединением строки $\textbf{e}$ к матрице , $H=(h_{ij})$ - $n\!\times\! m$ -матрица с элементами $h_{ij}=\max(e_{ij}- e_j,0)$ , $i=1,\dots,n$ , $j=1,\dots,m$ , и $|\textbf{e}|=\sum\limits_{k=1}^me_k$ ;
если $n\ge 1$ , то
$\begin{equation} \omega_E(s)=\omega_{E \setminus\textbf{e}_n}(s) - \omega_H(s-|\textbf{e}_n|),\label{H.2.4} \end{equation}$
где $\textbf{e}_n=(e_{n1},\dots,e_{nm})$ , и $H=(h_{ij})$ - это $(n-1)\!\times\!m$ -матрица, такая, что $h_{ij}=\max(e_{ij}-e_{nj},0)$ ;
размерностный многочлен матрицы не меняется при перестановке строк;
размерностный многочлен матрицы не меняется при перестановке столбцов матрицы ;
если $e_{pj}\ge e_{qj}$ при $j=1,\dots,m$ , то $\omega_E= \omega_{E_1}$ , где матрица получена из удалением -й строки (такую строку мы называем лишней );
$\omega_E(s)\equiv0$ тогда и только тогда, когда содержит нулевую строку (в этом случае полагаем $\deg \omega_E=-1$ );
если непусто, т. е. содержит хотя бы одну строку, то $\deg \omega_E<m$ ; размерностный многочлен "пустой" матрицы равен $\binom {t+m}m$ ;
если содержит строку $(1,0,\dots,0)$ , то $\omega_E= \omega_{E_1}$ , где $E_1\subseteq \mathbb N^{m-1}$ - матрица, полученная из удалением сначала строк, первая координата которых больше 0, а затем первого столбца (состоящего из нулей). В частности, если содержит строку $(1,0,\dots,0)$ и в первом столбце имеется нулевой элемент, то $\deg \omega_E<m-1$ ;
если и $\textbf{r}=(r_1,\dots,r_m)$ , где $r_j=\min_{i=1}^ne_{ij}$ $(1\le j\le m)$ , то
$\omega_E(s) = \binom {s+m}m - \binom {s+m-|\textbf{r}|}m +\omega_H(s-|\textbf{r}|),$
где - $n\!\times\! m$ -матрица, полученная вычитанием вектора $(r_1,\dots,r_m)$ из каждой строки матрицы (в частности, каждый столбец матрицы H содержит 0 ).

Фиксируем $n\!\times\! m$ -матрицу со строками $\{\textbf{e}_1,\dots,\textbf{e}_n\}$ . Для вычисления $\omega_E(t)$ можно применить соотношение (12.3), выбирая строки матрицы случайным образом; эта процедура приводит к комбинаторной формуле (12.4), дающей явное выражение для $\omega_E(t)$ .

Для более точной формулировки введем некоторые обозначения. Пусть $\textbf{f}_1=(f_{11},\dots,f_{1m}),\dots,\textbf{f}_q=(f_{q1},\dots,f_{qm})$ элементы множества $\mathbb N^m$ . Тогда элемент $\textbf{f}=(f_1,\dots,f_m)\in \mathbb N^m$ , где $f_j=\max_{1\leq i\leq q} \{ f_{ij}\}$ $(1\leq j\leq m)$ называется наименьшим общим кратным элементов $\textbf{f}_1,\dots,\textbf{f}_q$ и обозначается $\lcm(\textbf{f}_1,\dots,\textbf{f}_q)$ . Для любых $l,n\in \mathbb N$ , таких, что $n\ge 1$ , $0\le l\le n$ , обозначим через A(l,n) множество всех -элементных подмножеств множества $\mathbb N_n=\{ 1,\dots,n\}$ , и для любого $\xi\in A(l,n)$ положим $E_\xi=\{\textbf{e}_j\mid j\in\xi\}$ . Далее, обозначим $\textbf{e}_\xi$ наименьшее общее кратное элементов множества $E_\xi$ (как и прежде, элементы множества $\mathbb N^m$ сравниваются относительно порядка произведения " $\le$ ", если противное не оговорено явно). Если $\xi=\emptyset$ , то $\textbf{e}_\xi= (0,\dots,0)$ ; если $\xi\neq \emptyset$ , то, очевидно, $\textbf{e}_\xi=(e_{\xi 1},\dots,e_{\xi m})$ , где $e_{\xi i}=\max_{j\in\xi}\{ e_{ji}\}$ $(i=1,\dots,m)$ . Пусть $|\textbf{e}_\xi|=\sum\limits_{i=1}^m e_{\xi i}$ .

12.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. В обозначениях, введенных выше, следующее соотношение имеет место

$\begin{equation} \omega_E(t) =\sum_{l=0}^n (-1)^l\sum_{\xi\in A(l,n)} \binom {t+m-|\textbf{e}_\xi|}m. \end{equation}$

( 12.4)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся индукцией по . Случай n=0 следует из теоремы 12.8.

Если n>0 , то по формуле (12.3) имеем

$\omega_E(t)=\omega_{E_1}(t)-\omega_H(t-r),$

где

обозначает $(n-1)\!\times\! m$ -матрицу, полученную из

удалением последней строки, $r=\sum\limits_{k=1}^me_{nk}$ , и $H=(h_{ij})$ , где $h_{ij}=\max(e_{ij}-e_{nj},0)$ , $i=1,\dots,n-1$ , $j=1,\dots,m$ . По предположению индукции

$\omega_{E_1}(t)=\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l\sum_{\xi\in A(l,n-1)} \binom {t+m-|\textbf{e}_\xi|}m$

и

$\omega_H(t-r)=\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l\sum_{\xi\in A(l,n-1)}\binom {t+m-|g_\xi|}m,$

где

$\begin{align*} |g_\xi|&=\sum_{k=1}^m\max_{i\in\xi}h_{ik}+ r =\sum_{k=1}^m\left(\max_{i\in\xi}\max(e_{ik}-e_{nk},0)+e_{nk}\right)\\ &=\sum_{k=1}^m\max_{i\in\xi} (e_{ik},e_{nk}) = |\textbf{e}_{\xi\cup n}|. \end{align*}$

следовательно,

$\begin{align*} \omega_E(t)={}&\sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l \sum_{\xi\in A(l,n-1)} \binom {t+m-|\textbf{e}_\xi|}m \notag \\ &+\sum_{l=0}^n (-1)^l \sum_{\xi\in A(l-1,n-1)} \binom{t+m-|\textbf{e}_{\xi\cup n}|}m \notag \\ ={}&\sum_{l=0}^n (-1)^l \sum_{\xi\in A(l,n)} \binom {t+m-|\textbf{e}_\xi|}m. \tag*{\qedsymbol} \end{align*}$