НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 6: Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматриваются алгоритмы вычисления размерностных многочленов. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

В предыдущем параграфе (см.12.7) мы отмечали, что размерностный многочлен любого множества $F\subseteq \N^m$ равен размерностному многочлену, ассоциированному с множеством всех минимальных элементов множества . Значит, достаточно уметь вычислять размерностные многочлены только для конечных множеств $F\subseteq\N^m$ (более того, можно предполагать, что элементы множества попарно несравнимы относительно порядка произведения).

Пусть $E=(e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j \leq m}}$ обозначает $n\!\times\! m$ -матрицу над $\mathbb N$ , т. е. матрицу с строками и столбцами, элементы которой - неотрицательные целые числа. Рассматривая строки матрицы как элементы множества $\mathbb N^m$ и обозначая -ю строку $(e_{i1},\dots,e_{im})$ через $\be_i$ $(1\leq i\leq n)$ , мы получим подмножество $\tilde E=\{\be_1,\dots,\be_n\} \subseteq\mathbb N^m$ , ассоциированное с . Напомним, что размерностный многочлен $n\!\times\! m$ -матрицы в точности совпадает с размерностным многочленом множества $\tilde E$ и называется многочленом Гильберта матрицы .

Пусть $\omega_E(t)$ - размерностный многочлен $n\!\times\!m$ -матрицы над $\mathbb N$ . По определению $\omega_E(s)=\Card V_E(s)$ для всех достаточно больших $s\in\mathbb N$ , где V_E обозначает множество всех элементов из $\mathbb N^m\setminus \tilde E$ , которые не превосходят ни одного элемента из $\tilde E$ относительно порядка произведения, так что $v\in V_E$ если и только если неравенство $\be_i\leq v$ не выполняется ни для одного $\be_i$ $(1\leq i\leq n)$ .

Как было отмечено, для того, чтобы уметь вычислять размерностный многочлен любого подмножества в $\mathbb N^m$ , достаточно уметь вычислять его для любой $n\!\times\! m$ -матрицы над $\mathbb N$ . Один из методов вычисления основан на формуле (12,4).

Пусть $E=(e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j \leq m}}$ обозначает $n\!\times\!m$ -матрицу над $\mathbb N$ . Воспользуемся следующими обозначениями, введенными в параграфе 12:

$\textbf{e}_\xi=\begin{cases} (0,\dots,0) &\text{если } \xi=\emptyset,\\ (e_1=\max_{i\in\xi}\{ e_{i1}\} ,\dots,e_m= \max_{i\in\xi}\{ e_{im}\} ) &\text{если } \xi\neq \emptyset \end{cases}$

для любого подмножества $\xi\subseteq\mathbb N_n$ и $|\textbf{e}_\xi|=\smash{\sum\limits_{j=1}^m}e_j$ . По предложению 12.9 (см. 12.4) мы можем записать

$\omega_E(t) = \binom {t+m}m +\sum_{l=1}^n(-1)^l \sum_{\xi\in A(l,n)}\binom{t+m-|\textbf{e}_\xi|}m,$

где

$(1\leq l\leq n)$ обозначает множество всех

-элементных подмножеств множества $\mathbb N_n=\{1,\dots,n\}$ .

Пользуясь выписанной формулой, можно предложить следующий алгоритм вычисления размерностного многочлена $\omega_E(t)$ , ассоциированного с $n\!\times\! m$ -матрицей .

А9. АЛГОРИТМ $(E, n, m, \omega)$ .

$\begin{tabing} &\text{Дано: $n \in \mathbb N ; m \in \mathbb N ; n \times m$-матрица E}.\\ &\text{Надо: $\omega_E(t)$ — многочлен Гильберта матрицы $E$.}\\ &\text{Переменные: $IB$ — вектор типа $true/false$ с индексами $1..n$;}\\ &\text{\qquad \qquad $\textbf{v} = (v1, . . . , vm)$ — вектор типа $N$ с индексами $1..m$;}\\ &\text{\qquad \qquad $S_1$ — переменная типа $\pm 1$;}\\ &\text{\qquad \qquad $S_2$ — переменная типа $ \mathbb N $.}\\ &\text{Начало}\\ \text{$\omega(t) := \binom {t+m}m$}\\ \text{цикл для $m$ каждого вектора $IB$}\\ \text{\qquad $v := (0, . . . , 0)$}\\ \text{\qquad $S_1 := 1$}\\ \text{\qquad цикл для $j$ от $1$ до $n$}\\ \text{\qquad \qquad если $IB(j)$ то}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $\textbf{v} := НОК(\textbf{v}, \textbf{e}_j)$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $S_1 := -S_1$}\\ \text{\qquad \qquad конец если}\\ \text{\qquad \qquad $S_2 := \textbf{v}_1 + \dots + \textbf{v}_m$}\\ \text{\qquad \qquad $\omega(t) := \omega(t) + S_1\binom {t+m-S_2}m$}\\ \text{\qquad конец цикла} \\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец}\\ \end{tabing}$

Легко видеть, что асимптотическая сложность алгоритма A9 имеет порядок $n\!\times\! 2^n$ , где - число строк матрицы (по теореме 12.8 мы можем считать, что строки попарно несравнимы относительно порядка произведения на $\mathbb N^m$ ).

Мора и Меллер модифицировали алгоритм вычисления многочлена Гильберта [ 27 ] . Их алгоритм основан на следующих соображениях. Легко видеть, что в формуле (12.5) может выполняться равенство $\textbf{e}_\xi=\textbf{e}_\theta$ для двух различных подмножеств $\xi$ и $\theta$ множества $\mathbb N_n$ , таких, что $\Card\xi$ и $\Card\theta$ являются четным и нечетным числами соответственно (мы пользуемся обозначениями предложения 12.9). Тогда соответствующие слагаемые в формуле (12.5) сократятся. Более того, можно сгруппировать все слагаемые, соответствующие одному и тому же элементу $\tau \in\mathbb N^m$ .

Пусть T=T(E) - множество всех элементов $\tau\in\mathbb N^m$ , которые равны, по крайней мере, одному из элементов $\textbf{e}_\xi$ , где $\xi\subseteq\mathbb N_n$ . Тогда из формулы (12.4) следует, что

$\begin{multiline} \omega_E(t) =\sum_{\tau\in T}\sum_{k=0}^n(-1)^k\sum_{\{\xi\in A(k,n)\mid \textbf{e}_\xi=\tau\} } \binom {t+m-|\tau|}m\\ =\sum_{\tau\in T} \mu_\tau \binom {t+m-|\tau|}m,\ \end{multiline}$

( 13.1)

где $|\tau|$ обозначает сумму всех координат вектора $\tau$ , и

$\begin{equation} \mu_\tau=\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{\substack{ \xi\in A(k,n)\\\textbf{e}_\xi=\tau} }(-1)^k. \end{equation}$

( 13.2)

Очевидно, если матрица E_1 получена присоединением строки $\textbf{e} = (e_1,\dots,e_m)$ к матрице , T_1= T(E_1) и $\{\mu'_\tau|\tau \in T_1\}$ - множество коэффициентов (13.2) в соотношении (13.1) для многочлена $\omega_{E_1}(t)$ , так что

$\mu'_\tau= \sum_{k=0}^{n+1}\sum_{\substack{ \xi\in A(k,n+1)\\\textbf{e}_\xi=\tau} }(-1)^k$

для каждого $\tau \in T_1$ , то

$\begin{equation} \vad \mu'_\tau=\begin{cases} \mu_\tau-\sum_{\{ \bu\in T\mid \lcm (\bu,\textbf{e})=\tau\} }\mu_{\bu}& \text{ если } \tau\in T\\ -\sum_{\{ \bu\in T\mid \lcm (\bu,\textbf{e})=\tau\} }\mu_{\bu}& \text { если } \tau\in T_1\setminus T \end{cases} \end{equation}$

( 13.3)

Таким образом, вычисление многочлена $\omega_E(t)$ , т. е. вычисление коэффициентов $\mu_\tau\ (\tau \in T)$ , в (13.1) может быть основано на формуле (13.3), если мы начнем с пустой матрицы (число строк которой равно нулю и многочлен Гильберта которой равен $\binom {t+m}m$ ) и последовательно будем присоединять строки матрицы , вычисляя множество и коэффициенты $\mu_\tau$ $(\tau \in T)$ на каждом шаге (см. алгоритм A10 ).

$\begin{tabing} &\text{Дано: $n \in \mathbb N ; n \times m$-матрица E}.\\ &\text{Надо: $\omega_E(t)$ — многочлен Гильберта матрицы $E$.}\\ &\text{Переменные: $T,\; T_1$ —множества типа}\\ &\text{\qquad \qquad \qquad \qquad $\{$вектор типа $ \mathbb N $ с индексами $1..m\}$};\\ &\text{\qquad \qquad \qquad $\mu, \mu_1$ —векторы типа $ \mathbb Z $ с индексами из $T, T_1$.}\\ &\text{Начало}\\ \text{$\omega:= 0$}\\ \text{$T:=\{(0, \dots , 0)\}$}\\ \text{$\mu (0, \dots , 0):=1$}\\ \text{цикл для $i$ от $1$ до $n$}\\ \text{\qquad $T_1:=T$}\\ \text{\qquad цикл для каждого $u \in T_1$}\\ \text{\qquad \qquad $\mu_1(\textbf{u}):=\mu(\textbf{u})$}\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{\qquad цикл для каждого $u \in T_1$}\\ \text{\qquad \qquad $\tau := НОК(\textbf{u}, ei), e_i —i$-я строка матрицы $E$}\\ \text{\qquad \qquad если $\tau \in T$ то}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $\mu(\tau ) := \mu(\tau ) - \mu_1(\textbf{u})$}\\ \text{\qquad \qquad иначе $T := T \cup \tau ; \mu(\tau ) := -\mu_1(\textbf{u})$}\\ \text{\qquad \qquad конец если}\\ \text{\qquad конец цикла}\\ \text{конец цикла}\\ \text{цикл для каждого $\textbf{u} \in T$}\\ \text{\qquad $\omega (t):= \omega (t) + \mu(\textbf{u})\binom {t+m-|\textbf{u}|}m$}\\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец}\\ \end{tabing}$

Поскольку на -м шаге $(1\leq k\leq n)$ алгоритма каждый элемент $\textbf{u} \in T_1$ является наименьшим общим кратным некоторого подмножества множества $\{\textbf{e}_1,\dots,\textbf{e}_{k-1}\}$ (т. е. $\textbf{u}=\textbf{e}_\xi$ для некоторого $\xi\subseteq \mathbb N_{k-1}$ ), существует не более (k-1) различных возможностей для выбора каждой координаты вектора $\textbf{u}$ , следовательно, на -м шаге $(1\leq k\leq n)$ множество T_1 содержит не более (k-1)^m элементов. Вычисление всех элементов $\tau=\lcm(\textbf{u},\textbf{e}_k)$ требует не более m(k-1)^m сравнений, и можно предполагать (используя достаточно эффективный метод сортировки), что число проверок на принадлежность $\tau\in T$ не превосходит $k^m\log k$ для всех достаточно больших $k \in \mathbb N$ . Таким образом, асимптотическая сложность (по ) алгоритма A10 не превосходит $m\sum\limits_{k=2}^n\left[(k-1)^m+k^m\log k\right]$ . Поскольку $m \sum\limits_{k=2}^n\left[ (k - 1)^m+ k^m\log k\right] < 2m \sum\limits_{k=2}^n k^m \log k$ , асимптотическая сложность имеет порядок $n^{m+1}\log n$ .

Следующие алгоритмы вычисления размерностного многочлена произвольной $n\!\times\! m$ -матрицы сводят эту задачу к аналогичной задаче для матрицы с числом строк меньшим, чем в . По одному из этих алгоритмов (см. ниже алгоритм A11 ) можно вычислить коэффициенты $\mu_\tau$ в (13.1) размерностного многочлена $\omega_E(t)$ , что дает выражение для размерностного многочлена. Для обоснования этого алгоритма нам нужны некоторые свойства коэффициентов $\mu_\tau$ , которые сформулированы ниже в леммах 13.1-13.5, 13.7 и 13,9. Последняя из этих лемм устанавливает соотношения, на которых основан алгоритм вычисления $\mu_\tau$ .

Чтобы подчеркнуть зависимость коэффициентов $\mu_\tau$ от матрицы , будем обозначать эти коэффициенты $\mu_\tau (E)$ и продолжим это обозначение на случай произвольного вектора $\tau \in \mathbb N^m$ , полагая

$\mu_\tau(E) =\begin{cases} \mu_\tau, & \text {если } \tau\in T\\ 0, & \text {если } \tau\in\mathbb N^m\setminus T.\end{cases}$

(Напомним, что T=T(E)

- множество всех элементов $\tau\in\mathbb N^m$ , таких, что каждый $\tau$ равен либо $(0,\dots,0)$ , либо наименьшему общему кратному некоторых строк матрицы

; элементы множества

будем называть допустимыми элементами или допустимыми векторами матрицы

.)

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Вопросы и ответы

Студенты