НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 6: Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

13.1. ЛЕММА. Пусть дана $n\!\times\! m$ -матрица

$E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}.$

Предположим, что элемент $\tau =(\tau_1,\dots,\tau_m) \in \mathbb N^m$ мажорирует все строки этой матрицы, т. е. $\tau$ больше любой строки матрицы

или равен ей (относительно порядка произведений на $\mathbb N^m$ ). Тогда $\mu_\tau(E) = \mu_{(1,\dots,1)}(H)$ , где $H = (h_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - матрица с элементами

$h_{ij}=\begin{cases} 1, &\text {если } e_{ij}=\tau_j,\\ 0, &\text {если } e_{ij}\neq \tau_j,\end{cases}$

$(i=1,\dots,n)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть $\xi=\{ i_1,\dots,i_k\}\in A(k, n)$ $(1\leq k\leq n)$ , $\textbf{e}_\xi=НОК \{\textbf{e}_{i_1},\dots,\textbf{e}_{i_k}\}$ и $\textbf{h}_\xi =НОК \{\textbf{h}_{i_1},\dots,\textbf{h}_{i_k}\}$ ( $\textbf{e}_i$ и $\textbf{h}_i$ обозначают -е строки матриц и соответственно). Покажем, что равенство $\textbf{e}_\xi=\tau$ эквивалентно равенству $\textbf{h}_\xi=(1,\dots,1)$ . Действительно, если $\textbf{e}_\xi = \tau$ , то $\tau_j= \max \{ e_{i_1j},\dots,e_{i_kj}\}$ $(1\leq j\leq m)$ , так что для каждого $j=1,\dots,m$ существует индекс $\lambda (j)\in\mathbb N_k$ , такой, что $h_{i_{\lambda (j)}}=1$ . Таким образом, -й элемент строки $\textbf{h}_{i_{\lambda (j)}}$ равен 1, следовательно, $\textbf{h}_\xi =НОК \{\textbf{h}_{i_1},\dots,\textbf{h}_{i_k}\} = (1,\dots,1)$ . Обратно, если $\textbf{h}_\xi= (1,\dots,1)$ , то для каждого $j=1,\dots,m$ существует число $\nu =\nu(j)\in\mathbb N_k$ , такое, что $h_{i_\nu j}=\max_{i\in\xi}\{ h_{ij}\} = 1$ , т. е. $e_{i_\nu j} = \tau_j$ . Поэтому, $\textbf{e}_\xi\geq\tau$ , следовательно, $\textbf{e}_\xi= \tau$ (так как элемент $\tau$ больше любой строки матрицы или равен ей). Таким образом,

$\mu_\tau =\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{\substack{ \xi\in A(k,n)\\ \textbf{e}_\xi=\tau}} (-1)^k= \sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{\substack{ \xi\in A(k,n)\\ \textbf{h}_\xi=(1,\dots,1)}} (-1)^k=\mu_{(1,\dots,1)}(H). \eqno{\text{\qedsymbol}}$

Рассмотрим свойства размерностных многочленов матриц, состоящих из 0 и 1 (такова, например, матрица в лемме 13.1). Длякраткости будем писать $\mu_1(E)$ вместо $\mu_{(1,\dots,1)}(E)$ , где - $n\!\times\! m$ -матрица и $(1,\dots,1) \in \mathbb N^m$ .

13.2. ЛЕММА. Пусть - $n\!\times\! m$ -матрица, состоящая из 0 и 1, и $\omega_E(t)$ - ее многочлен Гильберта. Тогда $\mu_1(E) = (-1)^m\omega_E(-1)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По (12.4) имеем

$\begin{equation} \omega_E(t) =\sum_{\tau\in T}\mu_\tau\binom {t+m-|\tau|}m, \end{equation}$

( 13.4)

и, очевидно, каждая координата любого вектора

$\tau = (\tau_1,\dots,\tau_m) \in T=T(E)$

равна либо 0, либо 1. Если $\tau \neq (1,\dots,1)$ , то $0 \leq |\tau|= \sum\limits_{i=1}^m\tau_i < m$ . В этом случае многочлен $\binom {t+m-|\tau|}m$ обращается в нуль при t=-1

, следовательно,

$\begin{align*} \omega_E(-1) & = \mu_1(E)\left. \binom {t+m-|\tau|}m\right|_{t=-1} \\ & = \mu_1(E)\left. \frac {t(t-1)\dots(t-m+1)}{m!} \right|_{t=-1} \\ & =(-1)^m \mu_1(E). \tag*{\qedsymbol} \end{align*}$

Из леммы 13.2 следует, что

$\begin{equation} \mu_1(E) = (-1)^m \omega_E(-1), \end{equation}$

( 13.5)

где $\omega_E(t)$ - многочлен Гильберта матрицы

. Если

$\omega_E(t)=\sum\limits_{i=0}^m a_i\binom {t+i}i \quad (a_0,a_1,\dots,a_m \in \mathbb Z),$

то $\omega_E(-1)=a_0$ , так что $\mu_1(E)$ равно свободному члену многочлена Гильберта $\omega_E(t)$ .

13.3. ЛЕММА. Пусть - $n\!\times\! m$ -матрица, состоящая из 0 и 1. Тогда

если содержит нулевую строку, то $\mu_1(E)=0$ ;
если содержит нулевой столбец, то $\mu_1(E)=0$ ;
значение $\mu_1(E)$ инвариантно относительно перестановки строк (или столбцов) матрицы ;
если состоит из одной строки $(1,\dots,1)$ , то $\mu_1(E)=-1$ ;
если первая строка матрицы равна $(1,0,\dots,0)$ и первые элементы остальных строк равны 0, то $\mu_1(E)= -\mu_1(H)$ , где матрица получена из удалением первой строки и первого столбца.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Все утверждения леммы следуют из (13.5) и из доказанных выше свойств размерностного многочлена матрицы .

(1) Если содержит нулевую строку, то $\omega_E(t)\equiv 0$ (см. теорему 12.8(6). Применяя лемму 13.2, получаем $\mu_1(E)=0$ .

(2) Если каждый элемент $\nu$ -го столбца матрицы равен нулю $(1\leq \nu \leq m)$ , то из формулы (13.2) следует, что $\mu_1(E)=0$ (действительно, в обозначениях формулы (13.2) $\nu$ -ая координата любого вектора $\textbf{e}_\xi$ $(\xi \subseteq \mathbb N_m)$ равна нулю, так что $\textbf{e}_\xi\neq (1,\dots,1)$ ни для какого подмножества $\xi \subseteq \mathbb N_m$ ).

(3) Очевидно, что перестановка строк (или столбцов) матрицы не меняет значения $\omega_E(t)$ , а, значит, и значения $\mu_1(E)= (-1)^m \omega_E(-1)$ (см. утверждения (3) и (4) теоремы 12.8).

(4) Пусть состоит из одной строки $\textbf{e}=(1,\dots,1)$ . Поскольку

$\begin{multiline*} V_{\textbf{e}}(s)=\Card\mathbb N^m(s)\\ -\Card\{(1+u_1,\dots,1+u_m)\mid (u_1,\dots,u_m) \in\mathbb N^m(s - m)\} \\ = \binom {s+m}m-\binom sm \end{multiline*}$

для всех достаточно больших $s\in\mathbb N$ , имеем

$\omega_E(t) = \binom {t+m}m-\binom tm = \frac {(t+1)\dots(t+m)}{m!} - \frac {t(t-1)\dots(t-m+1)}{m!}.$

Значит, $\mu_1(E) = (-1)^m\omega_E(-1) = (-1)^m(-1)^{m+1}= -1$ .

(5) По теореме 12.8(8) имеем $\omega_E(t) \equiv \omega_H(t)$ , следовательно, $\mu_1(E) =(-1)^m\omega_E(-1) = -(-1)^{m-1}\omega_H(-1) = -\mu_1(H)$ .

Пусть $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ - $n\!\times\! m$ -матрица над $\mathbb N$ , $\tilde E=\{\textbf{e}_1,\dots,\textbf{e}_n\}$ - множество строк матрицы и $\textbf{e}=(e_1,\dots,e_m)$ - элемент множества $\mathbb N^m$ . Пусть $E\cup\textbf{e}$ обозначает $(n+1)\!\times\! m$ -матрицу, полученную присоединением строки $\textbf{e}$ к матрице (без потери общности можно предполагать, что $\textbf{e}$ является (n+1) -й строкой матрицы $E\cup\textbf{e}$ ). Следующая лемма устанавливает связь между размерностными многочленами матриц и $E\cup\textbf{e}$ . Как и выше, |E| обозначает сумму $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^me_{ij}$ всех элементов матрицы (в частности, $|\textbf{e}|$ обозначает сумму всех координат элемента $\textbf{e}\in\mathbb N^m$ ).