НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 10: Алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в решетке

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматриваются алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в решетке. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Ключевые слова: корень многочлена, старший коэффициент

Теперь рассмотрим второй подход к решению задачи факторизации, предложенный в п. 16.1, а именно, выделяем неприводимый в $\mathbb Z [x]$ делитель многочлена f(x) путем построения некоторой решетки и отысканием в ней "малого" вектора.

Общая схема факторизации

В самых общих чертах алгоритм выделения неприводимого множителя с использованием редуцированного базиса решетки имеет следующий вид:

А37. АЛГОРИТМ. (выделить-неприводимый-множитель ( f,g ))

$\begin{equation*}\\ \text{Дано:\quad$f(x) \in \mathbb Z [x]$, $\deg f(x) = m$}\\ \text{Надо:\quad \qquad $g(x) \in \mathbb Z [x]$, $g(x)$ неприводим в $\mathbb Z [x]$}\\ \text{Начало}\\ \text{выбрать полное нормированное поле $K$, содержащее $\mathbb Z $}\\ \text{ограничить степень неприводимого множителя, например,}\\ \text{\qquad $\deg g(x)\le n=m-1$}\\ \text{определить достаточную точность вычислений}\\ \text{найти с требуемой точностью неприводимый $h(x) \in K[x]$, делящий $f(x)$}}\\ \text{найти с требуемой точностью неприводимый $h(x) \in K[x]$, делящий}\\ \text{\qquad $f(x)$}\\ \text{\qquad //В результате дальнейших вычислений будет найден}\\ \text{\qquad //неприводимый над $\mathbb Z $ многочлен, делящийся на $h(x)$.}\\ \text{сформировать решетку $L$, ввести на ней норму $\|\ \|$}\\ \text{\qquad //Искомый многочлен $g(x)$ должен принадлежать $L$}\\ \text{\qquad //и быть в ней вектором минимальной длины}\\ \text{оценить норму искомого $g(x)$,}\\ \text{\qquad //найти $B$ такое, что $\|g(x)\| < B$}\\ \text{если существует в $L$ вектор $v$, такой, что $\|v\| < B$ то}\\ \text{\qquad найти такой вектор $v$;}\\ \text{\qquad $g(x) := v$}\\ \text{иначе}\\ \text{\qquad $g(x) := f(x)$}\\ \text{конец если}\\ \text{Конец} \end{equation*}$

Некоторые дополнительные комментарии к сформулированному алгоритму.

Наиболее трудный этап в этом алгоритме заключается в нахождении минимального вектора решетки. Для решения этой задачи воспользуемся алгоритмом построения редуцированного базиса решетки. В общем случае этот алгоритм не позволяет находить минимальный вектор в решетке, но находит вектор, длина которого отличается от длины минимального не более, чем в 2^n раз, где - размерность решетки. Таким образом, на вводимую норму $\|\ \|$ накладывается более сильное условие: $\|g(x)\|$ должна отличаться от нормы любого взаимно простого с g(x) многочлена $w(x) \in \mathbb Z [x]$ не менее, чем в 2^n раз. Константа должна быть выбрана таким образом, чтобы выполнялись неравенства $\|w(x)\| > B$ и $\|g(x)\| < B$ и алгоритм построения редуцированного базиса решетки давал положительный ответ на вопрос о существовании вектора, длина которого меньше , в том и только в том случае, когда $\|g(x)\| < B$ . Искомая норма $\|\ \|$ зависит от неприводимого над K[x] многочлена h(x) , при этом нужно помнить, что многочлен h(x) мы вычисляем с некоторой точностью (не абсолютной), эта точность должна быть достаточно хорошей для того, чтобы сформулированные выше условия на $\|\ \|$ остались справедливыми.

Нахождение с требуемой точностью неприводимого множителя $h(x) \in K[x]$ можно разделить на два этапа: нахождение нулевого приближения и уточнение множителя.

Перепишем алгоритм A37 с учетом сделанных замечаний.

АЛГОРИТМ выделить-неприводимый-множитель (многочлены f(x), g(x) )

$\begin{equation*}\\ \text{Дано:\quad $f(x) \in \mathbb Z [x], \deg f(x) = m$}\\ \text{Надо:\quad \qquad $g(x) \in \mathbb Z [x], g(x)$ неприводим в $\mathbb Z [x]$}\\ \text{Начало}\\ \text{выбрать полное нормированное поле $K$, содержащее $\mathbb Z $}\\ \text{ограничить сверху степень неприводимого множителя}\\ \text{\qquad натуральным числом $n$, например, $n:=m-1$}\\ \text{определить достаточную точность вычислений}\\ \text{найти нулевое приближение неприводимого $h(x) \in K[x]$}\\ \text{цикл пока не достигнута требуемая точность}\\ \text{\qquad уточнить $h(x) \in K[x]$}\\ \text{конец цикла}\\ \text{сформировать решетку $L$, ввести на ней норму $\|\ \|$}\\ \text{оценить норму искомого $g(x)$: $\|g(x)\| < B$}\\ \text{редуцировать базис решетки $L$}\\ \text{если $L$.базис[0] $< B$ то}\\ \text{\qquad $g(x) := L$.базис[0]}\\ \text{конец если}\\ \text{Конец} \end{equation*}$

Рассмотрим основные особенности алгоритма факторизации при использовании архимедовой и - адической метрики на поле $\mathbb Q$ . В первом случае в качестве поля выберем поле комплексных чисел $\C$ , во втором - поле - адических чисел R_p .