НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 5: Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

12.2. ЛЕММА. Пусть $U \subseteq \mathbb N^m$ и $U_{\textbf{a}}$ - результат параллельного сдвига множества на вектор $\textbf{a} = (a_1,\dots,a_m) \in \mathbb Z^m$ , т.е. $U_{\textbf{a}}= \{\textbf{a}+\textbf{u} \mid \textbf{u}\in U\}\subseteq \mathbb Z^m$ . Предположим также, что $U_{\textbf{a}}\subseteq \mathbb N^m$ . Тогда для любого $s\in \mathbb Z$ имеем $h_U(s)=h_{U_{\textbf{a}}} (s+|\textbf{a}|)$ , где $|\textbf{a}|=\sum\limits_{i=1}^m a_i$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, параллельный сдвиг на вектор $\textbf{a}$ , отображающий точку $\textbf{u}\in U(s)$ на точку $\hat{\textbf{u}}\in U_{\textbf{a}}(s+|\textbf{a}|)$ , является биективным отображением множеств $U(s)\to U_{\textbf{a}}(s+|\textbf{a}|)$ . Следовательно,

$h_U (s)=\Card U (s) =\Card U_{\textbf{a}} (s+|\textbf{a}|) =h_{U_{\textbf{a}}}(s+|\textbf{a}|).$

12.3. ЛЕММА. Пусть $K \subseteq \mathbb Z^m$ и $L =\{ \bx\in \mathbb N^m\mid \bx$ не превосходит ни одной точки из относительно порядка произведения на $\mathbb Z^m\}$ . Тогда существует подмножество $H \subseteq \mathbb N^m$ , такое, что $h_{V_H} (s) = h_L(s)$ для всех $s\in \mathbb Z$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любой точки $\textbf{a}=(a_1,\dots,a_m)\in K$ положим $f(\textbf{a})=(j_1,\dots,j_m)$ , где $j_i =\max (0,a_i)$ , $i =1,\dots,m$ . Пусть $H =\cup_{\textbf{a}\in K}f(\textbf{a})$ . Тогда $H\subseteq \mathbb N^m$ является требуемым множеством. Действительно, $\textbf{x} \in \mathbb N^m\setminus L$ тогда и только тогда, когда $\textbf{x} \in \mathbb N^m$ и $\textbf{x}$ больше или равен некоторой $\textbf{a}\in K$ , что эквивалентно неравенству $\textbf{x}\ge f(\textbf{a})$ , $\textbf{a}\in K$ .

Для любого данного подмножества $E\subseteq \mathbb N^m$ и для любого элемента $\textbf{e}= (e_1,\dots,e_m) \in \mathbb N^m$ пусть $E_1 = E \cup \textbf{e}$ и $v(s) = h_{\textbf{v}_E}(s) - h_{V_{E_1}}(s)$ для любого $s\in \mathbb Z$ . Ясно, что v(s)=h_U(s) , где - множество элементов $\textbf{v}\in \textbf{v}_E$ , таких, что $\textbf{v}\ge \textbf{e}$ . Применяя лемму 12.2 к и $-\textbf{e}$ , видим, что $v(s) = h_{U_{-\textbf{e}}}(s-|\textbf{e}|)$ . Далее, обозначая $K \subseteq \mathbb Z^m$ результат параллельного сдвига на вектор $-\textbf{e}$ и применяя лемму 12.2, получаем, что совпадает с $U_{-\textbf{e}}$ . Таким образом, $h_{U_{-\textbf{e}}}(s)=h_{V_H}(s)$ , где множество задается следующим условием: $\textbf{x}=(x_1,\dots,x_m) \in H$ тогда и только тогда, когда существует элемент $\textbf{r}=(r_1,\dots,r_m) \in E$ , такой, что $x_j=\max(0,r_j-e_j)$ , $j=1,\dots,m$ . Таким образом, мы доказали следующую формулу:

$\begin{equation} h_{\textbf{v}_E}(s) =h_{V_{(E\cup \textbf{e})}}(s)+ h_{V_H}(s-|\textbf{e}|) \end{equation}$

( 12.1)

для всех $s\in \mathbb Z$ .

Отметим, что в формуле (12.1) множество , а следовательно, и , может быть пустым.

12.4. ЛЕММА. Пусть $E \subseteq \mathbb N^m$ (m>1) , и $1\le i\le m$ . Предположим, что содержит элемент, -я координата которого равна 1, а все остальные равны 0. Пусть $\tilde E$ обозначает множество всех элементов $e=(e_1,\dots,e_{m-1})\in \mathbb N^{m-1}$ , таких, что $(e_1,\dots,e_{i-1},0, e_i,\dots,e_{m-1}) \in E$ . Тогда $h_{\textbf{v}_E}(s) = h_{V_{\tilde E}}(s)$ для всех $s\in \mathbb Z$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отображение $\phi : V_{\tilde E}(s) \mapsto \textbf{v}_E(s)$ , такое, что

$\phi (v_1,\dots,v_{m-1})= (v_1,\dots,v_{i-1},0,\dots,v_{m-1})$

является взаимно однозначным отображением множества $V_{\tilde E}(s)$ на множество всех элементов $\textbf{v}= (v_1,\dots,v_m)\in \textbf{v}_E(s)$ с нулевой

-ой координатой, т.e на множество $\textbf{v}_E(s)$ .

12.5. ТЕОРЕМА. Для любого множества $E\subseteq \mathbb N^m\ (m\ge 1)$ справедливы следующие утверждения:

существует целозначный многочлен $\omega_E(t)$ , такой, что $\omega_E(s)=\Card \textbf{v}_E(s)$ для всех достаточно больших $s\in \mathbb N$ ;
$\deg \omega_E\le m$ , причем $\deg \omega_E=m$ тогда и только тогда, когда $E=\emptyset$ $\bigl($ в этом случае $\omega_E(t)=\binom{t+m}m\bigr)$ ;
$\omega_E(t)\equiv 0$ тогда и только тогда, когда $(0,\dots,0) \in E$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Очевидно, что если - множество всех минимальных элементов множества , то $V_F= \textbf{v}_E$ , так что мы можем (и будем) предполагать, что конечно и его элементы попарно несравнимы. Пусть $E=\{\textbf{e}_1,\dots,\textbf{e}_r\}$ , где $\textbf{e}_i= (e_{i1},\dots,e_{im})$ $(i=1,\dots,r)$ и пусть $|E|=\sum\limits_{i=1}^r\sum\limits_{j=1}^m e_{ij}$ . Доказательство будем вести индукцией по |E| . Если |E|=0 , то либо $E=\emptyset$ , либо состоит из единственного элемента $(0,\dots,0)$ . В первом случае $\textbf{v}_E= \mathbb N^m$ и из (11.22) следует, что $\Card \textbf{v}_E(s)=\rho(m,s)=\binom{m+s}m$ . Во втором случае (когда $(0,\dots,0)\in E$ ), $\textbf{v}_E=\emptyset$ , следовательно, $\Card \textbf{v}_E(s)=0$ для любого $s\in \mathbb N$ , так что можно положить $\omega_E(t)\equiv0$ . Таким образом, утверждение (1) доказано при |E|=0 .

Более того, если m=1 , то содержит только одну точку , так что $\omega_E(t)\equiv e$ является требуемым многочленом.

Пусть |E|>0 и m>1 . Тогда существует отличный от $(0,\dots,0)$ элемент $\textbf{e}= (e_1,\dots,e_m) \in E$ . Пусть e_i>0 , для некоторого $1\le i\le m$ , и $\textbf{r}$ - элемент множества $\mathbb N^m$ , -я координата которого равна 1 и все остальные равны 0. Применяя соотношение (12.1) к и $\textbf{r}$ , получаем

$h_{\textbf{v}_E}(s)=h_{V_{(E\cup\textbf{r})}}(s) +h_{V_H}(s-1),$

для некоторого $H\subseteq \mathbb N^m$ такого, что |H|<|E|

.

По лемме 12.4 $h_{V_{(E\cup\textbf{r})}}(s)=h_{V_{\tilde E}}(s)$ , где $\tilde E\subset \N^{m-1}\kern-1pt$ , $|\tilde E|<|E|$ . Согласно индуктивному предположению можно считать, что существуют целозначные многочлены $\omega_1(t)$ и $\omega_2(t)$ такие, что $h_{V_{(E\cup\textbf{r})}}(s) =\omega_1 (s)$ и $h_{V_H}(s)= \omega_2(s)$ для всех достаточно больших $s\in \mathbb N$ . Поэтому целозначный многочлен

$\omega_E(t)=\omega_1(t)+\omega_2(t-1)$

удовлетворяет условиям первого утверждения леммы.

(2) Как мы уже видели, если $E=\emptyset$ , то $\omega_E(t)= \binom {t+m}m$ , $\deg \omega_E= m$ . Значит, чтобы доказать второе утверждение теоремы, достаточно доказать, что $\deg \omega_E< m$ , если $E\neq \emptyset$ . Формула (12.1), примененная в случае пустого множества и произвольного вектора $\textbf{e}$ , показывает, что

$\omega_{\textbf{e}}(s)=\omega_\emptyset(s)-\omega_\emptyset(s-|\textbf{e}|) =\binom{s+m}m-\binom{s+m-|\textbf{e}|}m,$

т. е. $\omega_{\textbf{e}}(t)$ является многочленом степени m-1

. Остается отметить, что добавление новых элементов в множество

может только уменьшить значения $\omega(s)$ , а, следовательно, не может увеличить степень многочлена $\omega_{\textbf{e}}(t)$ .

(3) Как мы уже видели, $\omega_E\equiv 0$ , если $(0,\dots,0)\in E$ . С другой стороны, если $\omega_E\equiv 0$ , то $\textbf{v}_E(s)=\emptyset$ для всех достаточно больших $s\in \mathbb N$ , следовательно, $\textbf{v}_E= \emptyset$ .

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Вопросы и ответы

Студенты