Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm
Размерностные многочлены подмножеств в Nm. Размерностный многочлен матрицы
Пусть - упорядоченные
множества. Их прямое произведение
можно упорядочить различными
способами. В основном мы будем рассматривать два отношения
порядка на множестве
: порядок произведения
,
в котором неравенство
выполняется тогда и только тогда, когда
для всех
, и лексикографический порядок
, который определяется следующими условиями:
в
, если существует индекс
, такой, что
, но
,
. Легко видеть, что если
каждое множество
вполне упорядочено относительно порядка
, то множество
является вполне упорядоченным
относительно лексикографического порядка
(в общем случае,
не является даже линейно упорядоченным
относительно порядка произведения).
Мы будем рассматривать порядок произведения и лексикографический порядок
на множестве
всех
-мерных векторов с неотрицательными целыми координатами, а также
на множествах вида
, где
для любого
,
. Множества
и
всегда рассматриваются
с естественным порядком, относительно которого
они, очевидно, вполне упорядочены.
Этот естественный порядок мы будем обозначать тем же символом
, который используется для обозначения порядка произведения,
если это не ведет к неоднозначности толкования.
12.1. ЛЕММА.
-
Любое бесконечное подмножество множества
с одержит бесконечную последовательность, строго возрастающую относительно порядка произведения, проекции всех элементов которой на
равны между собой.
-
Существует упорядочение
множества
, относительно которого это множество является вполне упорядоченным, удовлетворяющее следующим двум условиям:
-
для всех
-
если
, то
для всех,
.
-
Множество
является вполне упорядоченным относительно любого линейного порядка, удовлетворяющего условию 2a.
-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Легко видеть, что если - бесконечное подмножество
множества
, то
существует бесконечное подмножество
, проекции всех
элементов
которого на
равны между собой. Значит,
для доказательства первого утверждения леммы
достаточно показать, что любое бесконечное подмножество
в
содержит бесконечную последовательность, строго
возрастающую относительно порядка произведения.
Пусть
- бесконечное подмножество множества
. Если множество первых координат элементов множества
бесконечно, то существует бесконечное подмножество
, первые координаты любых двух различных элементов
которого различны.
Значит, существует бесконечная последовательность
, такая, что первые координаты элементов из
образуют строго возрастающую
последовательность в
. Если же множество первых координат
элементов из
конечно, то существует бесконечное подмножество
, все элементы которого имеют одну и ту же первую
координату. В обоих случаях
существует бесконечная подпоследовательность
,
состоящая из различных элементов
множества
, первые координаты которых образуют неубывающую
последовательность в
. Аналогично, из
можно выбрать бесконечную
подпоследовательность
, вторые координаты элементов которой образуют неубывающую
последовательность
в
и т.д. В результате мы получим бесконечную последовательность
элементов из
, которая строго возрастает
относительно порядка произведения. Таким образом,
первое утверждение леммы доказано.
Рассмотрим порядок на множестве
, такой, что








Докажем последнее утверждение леммы. Пусть -
линейный порядок на множестве
, удовлетворяющий условию 2a, и пусть
- бесконечное
подмножество множества
. По первому утверждению
леммы, существует бесконечная
подпоследовательность
, строго возрастающая
относительно порядка произведения
и такая, что проекции на
всех ее элементов равны между собой.
Покажем, что
также строго возрастает относительно порядка
. Действительно, если
,
и
,
, то
, поскольку порядок
удовлетворяет условию 2a. Таким
образом, любая строго убывающая (относительно порядка
) последовательность элементов из
конечна (иначе, как мы видели,
она содержит строго возрастающую последовательность, что невозможно для
убывающей последовательности),
так что множество
вполне упорядочено. Лемма доказана.
Пусть и
- подмножество
множества
. Для любого
обозначим
множество элементов
из
, для которых выполнено
неравенство
.
Если , то
будет обозначать множество всех
элементов
, которые не превосходят ни одного элемента из
относительно порядка произведения
на
. (В дальнейшем, если противное не
оговорено явно, все сравнения элементов из
рассматриваются относительно порядка произведения.) Таким
образом, включение
эквивалентно утверждению, что неравенство
не выполняется ни для какого
.
В дальнейшем обозначает функцию
,
такую, что
для любого
.