НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 5: Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Размерностные многочлены подмножеств в Nm. Размерностный многочлен матрицы

Пусть $(\omega_1\le_1),\dots,(\omega_m\le_m)$ - упорядоченные множества. Их прямое произведение $P= \prod\limits_{i=1}^m\omega_i$ можно упорядочить различными способами. В основном мы будем рассматривать два отношения порядка на множестве : порядок произведения $\le$ , в котором неравенство $(a_1,\dots,a_m)\le (b_1,\dots,b_m)$ выполняется тогда и только тогда, когда $a_i\le_i b_i$ для всех $i=1,\dots,m$ , и лексикографический порядок $\prec$ , который определяется следующими условиями: $(a_1,\dots,a_m)\prec (b_1,\dots,b_m)$ в , если существует индекс , такой, что $a_1= b_1,\dots ,a_{k-1}= b_{k-1}$ , но $a_k\neq b_k$ , $a_k\le_k b_k$ . Легко видеть, что если каждое множество $\omega_i$ $(i=1,\dots,m)$ вполне упорядочено относительно порядка $\le_i$ , то множество $P =\prod\limits_{i=1}^m\omega_i$ является вполне упорядоченным относительно лексикографического порядка (в общем случае, не является даже линейно упорядоченным относительно порядка произведения).

Мы будем рассматривать порядок произведения $\le$ и лексикографический порядок $\prec$ на множестве $\mathbb N^m$ всех -мерных векторов с неотрицательными целыми координатами, а также на множествах вида $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ $(m\in \mathbb N)$ , где $\mathbb N_k=\{1,2,\dots,k\}$ для любого $k\in \mathbb Z$ , $k\ge 1$ . Множества $\mathbb N$ и $\mathbb N_k$ всегда рассматриваются с естественным порядком, относительно которого они, очевидно, вполне упорядочены. Этот естественный порядок мы будем обозначать тем же символом $\le$ , который используется для обозначения порядка произведения, если это не ведет к неоднозначности толкования.

12.1. ЛЕММА.

Любое бесконечное подмножество множества $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ $(m,k\in \mathbb N,\ k\ge 1)$ с одержит бесконечную последовательность, строго возрастающую относительно порядка произведения, проекции всех элементов которой на $\mathbb N_k$ равны между собой.
Существует упорядочение множества , относительно которого это множество является вполне упорядоченным, удовлетворяющее следующим двум условиям:
1. $(i_1,\dots,i_m,j)\le_0$ $(i_1+e_1,\dots,i_m+e_m,j)$ для всех
  $i_1,\dots,i_m,e_1,\dots,e_m\in \mathbb N,\quad j\in \mathbb N_k;$
2. если $(i_1,\dots,i_m,j)\le_0$ $(i_1',\dots,i_m',j')$ , то
  $(i_1+e_1,\dots,i_m+e_m,j)\le_0 (i_1'+e_1,\dots,i_m'+e_m,j')$
  для всех $i_1,\dots,i_m,i_1',\dots,i_m',e_1,\dots,e_m\in \mathbb N$ , $j,j'\in \mathbb N_k$ .
3. Множество $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ является вполне упорядоченным относительно любого линейного порядка, удовлетворяющего условию 2a.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко видеть, что если - бесконечное подмножество множества $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ , то существует бесконечное подмножество $E_1\subseteq E$ , проекции всех элементов $e\in E_1$ которого на $\mathbb N_k$ равны между собой. Значит, для доказательства первого утверждения леммы достаточно показать, что любое бесконечное подмножество в $\mathbb N^m$ содержит бесконечную последовательность, строго возрастающую относительно порядка произведения. Пусть - бесконечное подмножество множества $\mathbb N^m$ . Если множество первых координат элементов множества бесконечно, то существует бесконечное подмножество $G\subseteq F$ , первые координаты любых двух различных элементов которого различны. Значит, существует бесконечная последовательность $G_1\subseteq G$ , такая, что первые координаты элементов из G_1 образуют строго возрастающую последовательность в $\mathbb N$ . Если же множество первых координат элементов из конечно, то существует бесконечное подмножество $F'\subset F$ , все элементы которого имеют одну и ту же первую координату. В обоих случаях существует бесконечная подпоследовательность $F_1\subseteq F$ , состоящая из различных элементов множества , первые координаты которых образуют неубывающую последовательность в $\mathbb N$ . Аналогично, из F_1 можно выбрать бесконечную подпоследовательность F_2 , вторые координаты элементов которой образуют неубывающую последовательность в $\mathbb N$ и т.д. В результате мы получим бесконечную последовательность F_m элементов из $\mathbb N^m$ , которая строго возрастает относительно порядка произведения. Таким образом, первое утверждение леммы доказано.

Рассмотрим порядок $\le_0$ на множестве $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ , такой, что

$(i_1,\dots,i_m,j)<_0 (i_1',\dots,i_m',j')$

тогда и только тогда, когда

$\Bigl(\sum_{\nu=1}^mi_\nu,j,i_1,\dots,i_m\Bigr)\prec \Bigl(\sum_{\nu=1}^m i_\nu',j',i_1',\dots,i_m'\Bigr)$

(" $\prec$ " обозначает лексикографический порядок на $\mathbb N\times \mathbb N_k\times \mathbb N^m$ ) для любых элементов $(i_1,\dots,i_m,j)$ , $(i_1',\dots,i_m',j')\in \mathbb N^m\times \mathbb N_k$ . Множество $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ вполне упорядочено относительно этого порядка (поскольку множество $\mathbb N\times \mathbb N_k\times \mathbb N^m$ вполне упорядочено относительно лексикографического порядка), и условия 2a и 2b, очевидно, выполнены.

Докажем последнее утверждение леммы. Пусть $\le_0$ - линейный порядок на множестве $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ , удовлетворяющий условию 2a, и пусть - бесконечное подмножество множества $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ . По первому утверждению леммы, существует бесконечная подпоследовательность $F_1\subseteq F$ , строго возрастающая относительно порядка произведения и такая, что проекции на $\mathbb N_k$ всех ее элементов равны между собой. Покажем, что F_1 также строго возрастает относительно порядка $\le_0$ . Действительно, если $f'=(i_1,\dots,i_m,j)$ , $f"=(i_1',\dots,i_m',j)\in F_1$ и $f'\neq f"$ , $i_1\le i_1',\dots,i_m\le i_m'$ , то $f'\le_0 f"= (i_1+(i_1'-i_1),\dots,i_m+(i_m'-i_m),j)$ , поскольку порядок $\le_0$ удовлетворяет условию 2a. Таким образом, любая строго убывающая (относительно порядка $\le_0$ ) последовательность элементов из $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ конечна (иначе, как мы видели, она содержит строго возрастающую последовательность, что невозможно для убывающей последовательности), так что множество $\mathbb N^m\times \mathbb N_k$ вполне упорядочено. Лемма доказана.

Пусть $m\in \mathbb Z,\ m\ge 1$ и - подмножество множества $\mathbb N^m$ . Для любого $s\in \mathbb N$ обозначим U(s) множество элементов $\textbf{u}=(u_1,\dots,u_m)$ из , для которых выполнено неравенство $\sum\limits_{i=1}^mu_i\le s$ .

Если $E \subseteq \mathbb N^m$ , то V_E будет обозначать множество всех элементов $\textbf{v} \in \mathbb N^m$ , которые не превосходят ни одного элемента из относительно порядка произведения $\le$ на $\mathbb N^m$ . (В дальнейшем, если противное не оговорено явно, все сравнения элементов из $\mathbb N^m$ рассматриваются относительно порядка произведения.) Таким образом, включение $\textbf{v} \in \textbf{v}_E$ эквивалентно утверждению, что неравенство $\textbf{e}\le\textbf{v}$ не выполняется ни для какого $\textbf{e}\in E$ .