Дискретизация. Антиалиасинг. Геометрические преобразования растровых изображений

Разложение преобразований в композицию более простых

В некоторых случаях имеет смысл раскладывать сложное преобразование в последовательность более простых, для которых существуют эффективные алгоритмы.

Самый простой и полезный пример - представление общего преобразования T в виде композиции преобразований по столбцам и по строкам. Преобразования, сохраняющие столбцы или строки, можно эффективно распараллелить (по столбцам и строкам соответственно).

Пусть , где C сохраняет столбцы, а R - строки. Пусть , а промежуточный результат - . Тогда

Отсюда получаем, что

Таким образом, c₂(x, y) = t₂(x, y) и r₁(x, t₂(x, y)) = t₁(x, y). Для того, чтобы найти r₁, надо в выражении t₁ вычленить все подвыражения, содержащие y, и привести их к виду t₂(x, y). После этого, заменив эти подвыражения на y, получим выражение для r₁.

Рассмотрим эту процедуру на примере поворота на угол :

Тогда

тогда (это, конечно, возможно, когда . Отсюда

Получаем, что . Итак, получено следующее разложение (наглядно на рис. 7.20):

В вырожденном случае ( ) такое разложение не получится, но в этом случае всё T сведется к замене x на y и возможному отражению (когда ). Следует также отметить, что вращений на углы , близких к , следует избегать, т.к. при их применении произойдут слишком большие искажения по вертикали (слишком сильное сжатие). В этом случае корректнее произвести поворот сначала на , а затем уже на (знак соответствует близкому к углу). Преобразования C и R представляют собой композицию сжатия и скоса по вертикали и горизонтали соответственно. Поэтому данная декомпозиция позволяет реализовать поворот с помощью нескольких последовательных применений алгоритма Веймана для скосов и масштабирования.

Рис. 7.20. Разложение вращения на скос и смещение по вертикали (C), а затем по горизонтали (R).

Существует альтернативное разложение на 3 скоса для матрицы поворота (наглядно на рис. 7.21), которое позволяет избавиться от существенных искажений при , присущих вышеизложенному алгоритму:

Рис. 7.21. Разложение вращения на 3 скоса.

Алгоритм Веймана рекомендуется применять именно вместе с таким разложением.

7.4. Заключение

Тема дискретизации, представления и обработки изображений (англ. image processing) является самостоятельной научной дисциплиной. Более подробно с ней можно ознакомиться по книгам [44], [32], [9]. Тема геометрических преобразований подробно раскрыта в книге [52].