Параметрические кривые и их растеризация
Сплайны, составленные из кривых Безье
Такие сплайны обладают свойством локальности влияния контрольных точек на форму кривой. Как и в случае интерполирующих сплайнов, будем искать сплайны определенной степени гладкости.
Для упрощения будем считать, что параметризация равномерная, т.е. длины отрезков, которые пробегает параметр на каждом из участков, равны. Для того чтобы рассмотреть условия на C1 и C2, необходимо найти производные кривых Безье:
где
Рассмотрим подробно случай кубических кривых Безье, которые являются самыми распространенными.
- Требование C1. Пусть заданы значения производных на концах ( d0 и d1 ), обозначим совпадающую последнюю контрольную точку предыдущей кривой и первую контрольную точку текущей как Pn:
Таким образом, для того чтобы в точках стыковки производные были равны (d0 = d1), необходимо, чтобы
- Требование C2:
Из требования C1 в точках стыковки мы уже получили . Далее, из требования C2 следует равенство . Так как получаются сложением соответствующих векторов по правилу параллелограмма, то и, если обозначить точку пересечения Pn-2Pn-1 и Pn+2Pn+1 как Dn, то получим, что Pn-1Pn+1 - средняя линия треугольника Pn-2DnPn+2. Распространяя эти рассуждения на все точки стыковки, получаем, что для задания формы такого сплайна достаточно задать точки Dk, где , где N + 1 - число опорных точек, и краевые точки - P0 и PN (см. рис. 4.9 ).
Замечание. Для замкнутой кривой задание краевых точек не нужно.
Однако даже такие достаточно развитые средства аппроксимации кривыми Безье не позволяют построить окружность
так как sin и cos для достаточно хорошего приближения требуют многочленов высокой степени. Поэтому вводится более широкий класс кривых, способ построения которых связан с представлением о проективном пространстве: